分类思想漫谈

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数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人的意识之中，经过思维活动而产生的结果，是对数学事实与数学理论的本质认识。数学思想是相应的数学方法的精神实质和理论基础，数学方法则是实施有关数学思想的技术手段。张奠宙教授认为：“同一个数学思想，当用它去解决别的问题时，就称之为方法，当评价它在数学体系中的自身价值和意义时，就称之为思想。”这是对“思想”和“方法”相互关系的一种合理解释。“数学思想”和“数学方法”这两个术语常常被混用或合用，人们目前尚未觉得有必要进一步澄清，由于我们既需要用数学方法解决问题，有时也需要对这些方法作出评价。本研究就把“数学思想”和“数学方法”合二为一了，统称为“数学思想方法”。

分类是自然科学中的基本逻辑思想方法之一，各门科学都要运用分类思想（如语文分为文学、语言和写作，外语分为听、说、读、写和译，物理学分为力学、运动学、热学、声学、电学、光学和原子核物理学，化学分为无机化学和有机化学，生物学分为植物学、动物学和人类学等），只有将分类思想应用于空间形式和数量关系时，才能成为数学思想。“数学中的分类思想是按照数学对象的共同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法。分类以比较为基础，通过比较识别出数学对象之间的异同点，然后，根据共同点将数学对象归并为较大的类，根据差异点将数学对象划分为较小的类，从而将数学对象区分为具有一定从属关系的等级系统。”本研究所说的分类讨论思想方法是指数学思想方法中的分类讨论思想方法。

在人类认识史上，分类一直扮演着重要的角色，可以说，自有人类的产生，就有了分类活动，分类活动贯穿于人类的一切生产、生活等社会实践活动中。中西各族人民都有自己悠久的分类活动史，闪烁着丰富的分类思想的光辉。从分类思想的历史考察中可以发现，中西在公元前就有了分类思想，并逐步得到发展。

在数学的发展历史中，分类思想方法是被人们广泛使用来研究数学问题，解决各种各样问题的重要方法，也是一种最基本、较高层次的思想方法。古今中外的名家名著对此有过精辟的研究和阐述:如《九章算术》是一部经几代人整理、删补和修订而成的古代数学经典著作，约成书于东汉初年（公元前一世纪）。全书采用问题集的形式编写，共收集了246个问题及其解法，分属于方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程和勾股九章。每道题都以“有问、有答、有术”的形式给出，其中“术”就是解题方法，有的一题一术，有的多题一术。在代数方面，《方程》一章中所引入的负数概念及正负数加减法法则，在世界数学史上都是最早的记载；书中关于线性方程组的解法和现在中学讲授的方法基本相同。就《九章算术》的特点来说，它注重应用，注重理论联系实际，形成了以筹算为中心的数学体系，对中国古算影响深远。它的一些成就如十进制值制、今有术、盈不足术等还传到印度和阿拉伯，并通过这些国家传到欧洲，促进了世界数学的发展。公元656年由太史令李淳风等人编纂注释《算经十书》（包括《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《孙子算经》《张丘建算经》《夏侯阳算经》《缉古算经》《五曹算经》《五经算术》和《缀术》），作为算学馆学生用的课本。其中也包含着大量分类讨论思想方法的问题。

在西方，公元前五世纪柏拉图在分类问题上提出了二分法思想。亚里士多德在批判二分法的基础上提出自己的见解，全面地在各个领域进行分类。而柏拉图的另一个学生大数学家欧几里得是与他的巨著――《几何原本》一起名垂千古。这本书是世界上最著名、最完整而且流传最广的数学著作，也是欧几里得最有价值的一部著作。在《几何原本》里，欧几里得系统地总结了古代劳动人民和学者们在实践和思考中获得的几何知识，欧几里得把人们公认的一些事实列成定义和公理，以形式逻辑的方法，用这些定义和公理来研究各种几何图形的性质，从而建立了一套从公理、定义出发，论证命题得到定理的几何学论证方法，形成了一个严密的逻辑体系――几何学。而这本书，也就成了欧式几何的奠基之作。其中组成《几何原本》的概念结构方法就是分类讨论思想方法，在书中点是最小元素，点的延伸形成线，线的延伸形成面，面的延伸形成体。点只有位置，线只有长度，面只有长度和宽度，体有长度、宽度和高度。点、线、面、体，是几何的最大分类。其中，点、线、面、体四大元素各自又可以在内部分类，当然点除外。分类出来的小元素各自又可以在内部继续分类，直至不可以再分类。也就是说，在纵向应该力求尽可能穷尽的分类。在横向也应该力求尽可能穷尽的分类。这就像一个国家，首先分类为省，各省又分类为市，各市又分类为区、县，区又分类为办事处以及街道、县又分类为乡镇以及村落。《几何原本》就是这样力求完美的逻辑体系。两千多年来，《几何原本》一直是学习几何的主要教材。哥白尼、伽利略、笛卡尔、牛顿等许多伟大的学者都曾学习过《几何原本》，从中吸取了丰富的营养，从而作出了许多伟大的成就。

经过人类几千年的发展，数学内容的分支也越来越多，从广义上来看，数学有纵向和横向两种分类方法。

从纵向划分：

初等数学和古代数学；变量数学；近代数学；现代数学。

从横向划分：

基础数学；应用数学；计算数学；概率统计；运筹学与控制论。

数学分类现象有现象分类本质分类之别。所谓现象分类，是指仅仅根据数学对象的外部特征或外部联系进行分类。这种分类往往把本质上相同的对象分为不同的类别，而把本质上不相同的对象归为同一类别。例如：自然数集可以根据能否被2整除的标准分类奇数和偶数。为了更好地认识自然数间的内在联系，则需要按自然数所含质因数的个数进行分类

自然数质数（质因数个数为1）1（质因数个数为0）合数（质因数个数大于1）

在这个更深刻的本质分类的基础上，通过对质数、合数的进一步研究，就可得到算术基本定理。

在现代数学教育研究中主要有解恩泽，徐本顺、张奠宙、朱成杰、朱水根、王延文、王林全、李玉琪、彭光明等人对分类思想方法作了一些研究，这些研究成果主要有:

1989年解恩泽，徐本顺 《数学思想方法》（编著）

1991年张奠宙，朱成杰 《现代数学思想讲话》（编著）

1998年朱水根，王延文 《中学数学教学导论》（专著）

1999年王林全，林国泰 《中学数学思想方法概论》（编著）

2000年李玉琪《中学数学教学与实践研究》（编著）

2008年彭光明《数学教学方法思考与探究》（专著）

在这些编著或专著中，分类讨论思想是作为研究的一小部分被提及，作为数学思想的一个部分，研究者一般都是先介绍分类讨论的概念、原则、分类的解题步骤，最后举例分类讨论的应用。对分类讨论思想方法在中学数学教学中的地位，分析分类讨论思想方法教学对学生的培养功能及探索分类讨论思想方法的教学途径，这些书本都没有提到，本研究将会在这些方面加强，这也是论文的创新之处。

由此可见，分类讨论思想方法作为数学中的思想方法一直受到数学家或数学教育者的关注。在数学问题的解决，数学的发展过程中分类讨论思想方法有着极其重要的作用。

参考文献：

［1］张奠宙，朱成杰.现代数学思想讲话 ［M］.江苏：江苏教育出版社，1991-08.

［2］钱玲，邵光华.数学思想方法与中学数学［M］.北京师范大学出版社，1999-07.