运用对立统一观点,搞好有余数除法的教学
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“对立统一”是辩证唯物主义的一个基本观点，教师只有掌握这一辩证观点，才能正确地驾驭教材，搞好有余数除法的教学。在进行教学之前，教师首先要对“0”的双重意义进行一些探究。
在数学发展的历史中，0的出现比起其他自然数要晚得多，代表缺位符号的0直到公元6世纪才从印度引进：当某个数位上一个单位也没有时，便用0来表示。用近代集合论的观点来看，如果一个集合中只有n个元素，这个n就称为这个集合的基数。单元素集中只有一个元素，所以单元素集的基数便是1。没有元素的集合称为空集，因而空集的基数便是0。所以，通常认为：非零自然数1，2，3，…表示的是“有”，而0表示的是“无”。
然而，切莫把这种认识绝对化了，用辩证的观点看，0还有表示“有”的一面。如某天的气温是0℃，总不能说这天没有温度吧！因为0毕竟是一个确定的数呀！0℃比零上3℃低3℃，而又比零下1℃高1℃。0既不是正数，也不是负数，0是唯一的中性数。又如，在中学数学中我们还知道，一条直线l的倾斜角α的正切，称作这条直线l的斜率。0°角的正切为0， tan0°=0，但我们说这个倾斜率是存在的，真正不存在的是90°角的正切！所以任何平行于x轴的直线都属于有斜率的直线，只有垂直于x轴的直线才是斜率不存在的直线。
由是观之，0既可表示“无”，又可表示“有”，有了这种辩证认识，才可能把有余数的除法知识教好教活。
人教版义务教育课程标准实验教科书《数学》三年级上册第49页编入了“有余数的除法”内容。在第50页上有一个摆花布置会场的例1。先摆15盆花，每组摆5盆，可以摆几组？横式为：15÷5=3（组） ，竖式为：
这题讲的是整除。
在第51页上又有例2。一共有23盆花，每组摆5盆，最多可以摆4组，还多3盆。可以用这样的式子来表示：23÷5=4（组）……3（盆）
这题讲的是有余数的除法。
在第52页上还安排了例3。如果上例中一共有16盆花，可以摆几组？多几盆？如果是17盆，18盆，……，24盆，25盆？
15÷5=3（组）
16÷5=3（组）……1（盆）
17÷5=3（组）……2（盆）
18÷5=3（组）……3（盆）
19÷5=3（组）……4（盆）
20÷5=4（组）
21÷5=（组）……（盆）
22÷5=（组）……（盆）
23÷5=（组）……（盆）
24÷5=（组）……（盆）
25÷5=（组）……（盆）
这题是将“整除”与“有余数的除法”综合在一起，进行对比和总结。
作为一名小学数学教师，照本宣科地讲解完这三道例题，应该是不成问题的。但是，通过这样的教学，在学生的脑海中会形成怎样的认识呢？笔者认为主要有以下三点：
1.整除是没有余数的，只有在有余数的除法中才出现余数。
2.一个数被5除，除数只有四种情形，即余数只可能是1，2，3，4。
3.余数必须小于除数，但余数不能为0。
其实，这些认识不仅学生中有，而且在一些专业知识不够扎实、对哲学也疏于学习的小学数学教师中也普遍存在。
值得指出的是：上述认识虽然有其正确的部分（如余数必须小于除数），但总体来说，却没有真正学通、学透。
为弄清这些问题，不妨先来查阅相关的数学专业书籍。
《小学数学教师手册》（人民教育出版社，1982年）第49页有如下表述：
“判定一个整数能不能被另一个正整数整除，只要进行除法运算即可。如果所得余数为0，就是整除的情况；如果所得的余数不为0，就是不能整除的情况。”
《数学手册》（人民教育出版社，1979）第1057页“数论”的“辗转相除法”一节中，有如下表述：
“每一个整数a可以唯一地通过正整数b表示为a=bq+r （0≤r
《数学手册》第1066页“数论”的“同余式”一节中还有如下表述：
“设以m为模，则可将全体整数分为m类，同类的数都有同余，不同类的数都不同余。称这样的类为同余类，每类中各取一数为代表。例如：0，1，2，…，m-1构成一个完全剩余类。”
在上述文献的相关表述中，无一例外地表明：在整数除法中，余数可以为0。
然后，再从哲学的角度来进行分析。在研究整数除法时，人们起初总是研究其中最简单的除法情形，正如课本中的例1那样：15÷5=3，没有余数。然后，再研究较复杂的有余数的除法，如课本中的例2那样：23÷5=4（组）……3（盆）。其中的“3”就是余数。所以，人们此时对于能整除的情形和不能整除的情形主要是关注其“异”：前者没有余数而后者有余数。然而世上一切事物又无不处于运动、变化和发展之中，所以人们的认识也不应该老是“原地踏步”。因为“没有余数”也就是“余数为0”，所以当我们在转而关注其“同”的时候，就将“有余数的除法”进行了一次扩展，把一切除法都看成是有余数的除法，从而让“有余数的除法”把“整除”也包括进去，二者的差别不在于有没有余数，而在于余数是否为0。这样一来，“整除”就变成了“有余数除法”的特例。至此，原先相互并列的两个对立概念就实现了统一。
其实，概念间由对立到统一的这种变化，比比皆是。在小学低年级，把长方形与正方形看成是对立的概念，而在后来，就把正方形集合看成是矩形集合的真子集了。对长方体与正方体的认识与此也大致相同，起初两者相互对立，后来就统一于长方体集合之中，而把正方体看成是长方体的特例了。在对整数与分数的认识上，也经历了同样的过程。人们先接触整数，再接触分数，起初，两者泾渭分明，不容混淆。然而，当人们认识到任何一个非零整数m都可以写成分母唯一的分数，而0也可表示为零分数（n ∈N*）时，内涵扩展后的“分数”就已经包含了“整数”，原先是并列关系的两个对立概念，就形成了包含关系。整数集已成为分数集的一个真子集了。原先说“整数”与“分数”统称为“有理数”，而现在就可以说：有理数集就是分数集了。
对概念的认识，必须经由这样的一个“与时俱进”的过程，否则，老停留在一个地方，割裂地、孤立地看待各个相关概念，就难以实现认识上由对立到统一的飞跃，就难以理清概念间的关系，就必然会把活生生的知识教死了。
从数学与哲学两个方面做了上述准备后，接下来就可以来探讨一下有余数除法的教学了。
首先，不妨按照课本的编排，先讲例1，再讲例2。但是在讲完例2后，不忙讲例3，而是带领学生回过头来观察例1，指着竖式最下面的那个0，告诉学生：这个0的位置也就是例2中余数3的位置。这个0也就是整除的余数。过去说整除的没有余数，其实，“没有余数”也就是“余数为0”。接着，把横式“15÷5=3（组）”加以改造，使之成为“15÷5=3（组）……0（盆）”的形式。
最后，在讲完了例3时，还应重申一下这一观点，并在“15÷5=3（组）”和“20÷5= （组）”的后面都添上“……（盆）”，引导学生，使他们学会在“（盆）”的内都填上“0”。至此，有余数除法的教学才算告一段落。
通过这样的教学，相信学生不仅能认识到在整数除法中，余数可以为0、“整除”可以看成是“有余数的除法”之特例，而且还能认识到一个数被5除，余数可能有0，1，2，3，4五种，为后续学习做好铺垫。更重要的是，这样做是向学生进行了一次对立统一的辩证唯物主义的思想教育，使学生初步懂得用运动、变化、发展的观点看问题，从而把数学知识学通、学透、学活。在零距离、零误差、零月租、零首付、零关税、零利率、零亏损、零增长、零风险、零排放、零障碍、零死亡、零蛀牙、零容忍等词汇日益风行的当今社会，也不致迷茫和自卑，而是清楚地知道，这些词汇的鼻祖“零余数”在教学中早已存在，从而让数学的文化风采得到应有的彰显。
（江西省南昌师范高等专科学校 330006）