一种改进的新锥模型信赖域算法
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摘要：本文针对锥模型信赖域算法接受条件中存在的一些不合理因素，提出了一种改进的非单调信赖域算法，该算法通过改变预计下降量，使其与实际下降量对应起来，从而提高了梯度精度，且在一定的条件下，证明了该算法的收敛性。
关键词：无约束优化，信赖域，锥模型，全局收敛性
中图分类号：DF431文献标识码： A 文章编号：
1.算法的提出
(1.1)
的解。比较和的值，若他们的比值令人满意，就接受，一般要求
文[4]介绍的非单调线搜索信赖域算法可放宽这一条件，接受条件为
我们观察，的分子是目标函数从到的实际下降量，而分母是到的预计下降量。一般情况下，所以，用这对非完全对应的函数之差来衡量显然是不合理的，因此本文用作为到的预计下降量，于是接受条件为
2.算法步骤
算法2.1
Step 0：给定，对称矩阵
，为非负整数，
Step 1：计算，如果满足终止条件，则停；否则转Step 2；
Step 2：求解子问题（1.1）的近似解且
（2.1）
Step 3：计算；
Step 4：若，转Step 5；否则取；使其满足
；
(2.2)
令，，,;转Step 6；
Step 5：计算，；如果时，当
时，
Step 6：修正，，，转Step 1。
3.收敛性分析
为证算法的收敛性，我们作以下假设：
（A1）水平集有界，其中为初始点。
（A2）是lipschitz连续函数，即存在常数，满足：
（A3）在水平集S上二次连续可微，且存在，使得 。
引理令是算法2.1产生的解，则有
(3.1)
引理若假设（A1）（A3）成立，则数列非增且收敛。
引理 3.3令是算法3.1产生的解，则有
>..
证明：由的定义可知
.
由引理3.1得出.
我们记
引理 3.4 若假设A1和A3成立，且存在常数，使得设是由前述算法产生的迭代序列，那么对于，()有。
证明：对于，有显然，.从而
由引理3.2和式（3.1）知，
上式左边趋于0，要想此式成立只能有.
引理 3.5 若假设（A1）、（A2）、（A3）成立，且存在常数，使得。设是由前述算法产生的迭代序列，且收敛，那么对于，序列不收敛于0。
证明：反设由，再结合式2.2可得.从而有
结合式2.1可得
而由假设A3,反设，以及，有
其中.上式两边取范数得
又由，知
而序列收敛，由假设A1和反设知，不等式左边收敛于0.矛盾，故反设不成立，即证。
定理 3.6 若假设A1和A3成立，给定初始点，初始对称阵，设是由前述算法产生的迭代序列，则。
证明：反设不成立，则存在常数，使得。由前述算法知，对于对于再结合引理3.5和引理3.4知，它们之间隐含矛盾！于是假设不成立，即.定理得证。
4.数值试验
运用算法2.1对下列目标函数的无约束极小化问题进行试算：
Conic function
.
Cube function
Beal function
这里
Rosenbrock function
Penalty-I function
（）
Freuden stein-Roth function
本文对以上函数进行了数值实验，与传统的锥模型信赖域算法进行了比较，在matlab7.0环境下编制程序，得到了表4-1的数值结果。参数选择如下：
其中是随意选取的初始值， 分别是函数梯度和目标函数的迭代次数，是函数终止的梯度范数，终止条件为，代表目标函数值，是在的初始条件下按照算法2.1迭代产生的近似最优解.
表4-1 改进的新锥模型信赖域算法数值实验
分析实验结果，该算法迭代次数除了函数，其他函数基本没有什么变化，但函数的梯度精度都有所提高；且我们看出， 函数的实验结果基本没有变化，采用的是单调锥模型信赖域算法。
参考文献
[1] 袁亚湘,孙文瑜.最优化理论与方法[M],北京：科学出版社,1997.
[2] 陆晓平，倪勤，刘浩.解新锥模型信赖域子问题的折线法.2007年9月，应用数学学报，Vol.30 No.5.
[3] 张建科，刘三阳.一类锥模型非单调信赖域算法及收敛性分析[J].应用数学学报，2005,18:13-17.
[4] 郑跃，刘君娥.一类新的非单调信赖域算法 .2008年4月，高等学校计算数学学报，Vol.11 No.4.