无穷小量的数量分析
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【摘要】对无穷小量的认识与理解从不同的层次和不同的角度都存在一定的争议，文章结合前人的研究进一步阐述个人的思考，以便能在理解无穷小量上有一定的借鉴意义。
对于无穷小量这个数学概念，要对数学学习者讲得很清楚，也是一件不容易的事情，至极限论中引入无穷小量起，我们就进入了一个抽象的世界，而且始终都摆托不了无穷小的纠缠，很多时候，我们在学习的过程中对无穷小总是几个字带过的，并不有意地深入地追究它的内涵，主要还是因为没有很好的方法去打开进入无穷小量空间的这个门。实际上，正如高隆昌先生所讲的：对无穷这个纯粹抽象的不存在的对象之研究并非无意义，事实上人类共同奋斗的方向正向着无穷，作为人类理性认识的前沿科学，数学不能不研究无穷，惟恐不能深入。
一、研究的基本问题
1.无穷小是数还是量。如果是数能否具有表达式，如是量是否可测量。
2.无穷小是物还是一个抽象的空洞。如果是物，它有什么性质与形态。
二、无穷小的极限论
（一）极限对无穷小的定义
定义：若 ，称函数f（x）（xa）是无穷小。
定义中将xa换成xa+，xa-，x+∞，x-∞，x∞，以及
n∞可定义不同过程的无穷小。而实际上，x-a，x-（a+），x-（+∞），x-（-∞），x-∞，n-∞本身也是无穷小量。同时不同的无穷小存在不同的阶数。
无穷小邻域： ＞0，当|x-x0|＜δ时，| f（x）- f（x0）|＜ε，则叫f（x）当xx0时的极限值为f（x0），称ε为无穷小邻域。
（二）实数的连续性与无穷小
定义1：设函数y= f（x）在点x0的某邻域内有定义，如果自变量的增量x=x-x0趋于零时，对应函数的增量也趋于零，
即， 或
则称函数f（x）在点x0是连续的。或者表示为： 于是还有：定义2：设函数y=f（x）在点x0的某邻域内有定义，若，
则称函数f（x）在点x0处连续。
显然，ε，x=x-x0，f（x）- f（x0），y=f（x0+x）-f（x0）等都是无穷小量。
（三）极限论无穷小评述
1.相对于无穷小的认识，极限论给出了一种用有限去表述无穷的方法。即，通过有限的情形的“趋势”分析，直接获得无穷过程的终极值。或极限论只是一种方法、一种技术。
2.极限论对于无穷小邻域是“跳”过去的。
实际上，一步走完一个“芝诺”过程是不可能的。从逻辑上说，极限论的过程存在一跳。
3.无穷小邻域或只是一个稠密集而极限论是把这个稠密集或
可数集跳到了连续统。
4.在极限意义下，无穷小世界被处理成有序结构了而它并不具备序结构。
三、无穷小的公理集合论
集合概念：由有限或无限多个互不相同的元素构成的整体叫做集合。数学上的空间或系统实际上也是“一种特殊的集合”。集合定义中的元素除了指数外，也泛指任何的对象。当然，数学中用到的集合还赋予了公理限制，即公理化的集合。
康托尔为了认识实数集的本质，提出了三个概念：
1.可数无穷集，即与自然数同构的无穷集，并提出这是“最小的”无穷集。
2.不可数无穷集，也叫超穷集。
3.“势”或“基数”，它是由“有限集合的元素总数”概念提出的。
一切可数的无穷集其势为M0，提出，任一无穷集必存在与其无穷子集同势的性质。可数集与自然数集同势，超穷集由多类集合组成，各类之间的有不同的势，势之间或不同类之间是否还有超穷集。即“连续统猜测”。
康托尔的前辈反对将无穷量作为一个实体，认为：所谓无穷（大、
小）只是一种说话的方式。康托尔不同意上述观点，他极愿意将所有整数装在一个袋子中并看作是一个自足的和完整的实体。他认为无穷应是一个实实在在的数学概念。
四、无穷小的非标准分析
1.无穷小的非标准模型及其基本事实。序列类：设x∈R，记
={xn }，则叫为的序列类。
模型的建立：取映射*:R*R。*满足下列条件之一
（1）
（2）
也叫*R为R的扩张，体现在*R中鲜明地出了无穷小，也包含了无穷大。
实际上，这里把作为稠密集看待，把作为稠密集加其无穷小邻域（成为连续统），从而结出了无穷小的直观的理解。
非标准模型下的无穷小（大）定义：设 ，y∈*R，记非标准绝对
（1） ，恒有|x|＜ε，则叫x为无穷小。
（2） ，恒有|x|＞ε，则叫x为无穷大。
（3） ，|x|≤ε，则叫x为有限数。
2.非标准模型下的单子定义
（1）定义：设x，y∈*R，若x-y无穷小，则说x，y无限接近。
记为x≈y。
记mon(x)={y∈*R|x≈y}，则叫mon（x）为一个单子（monad）。
（2）性质：单子是无边界的（开邻域）；*R中任二单子要么相重，要么无交；
3.非标准分析下的无穷小初步性质
（1）无穷小不满足阿基米德公理。
（2）无穷小邻域内无“序”关系。
（3）无穷小邻域由无穷多元构成。
（4）*R中单子（无穷小邻域）间无非空交。
（5）无穷小邻域是开集，有上界但无上确界。
五、微观世界（非牛顿空间）与无穷小空间
定义1：（对偶空间）对于线性空间V，记其上的一切线性泛函之集为，则叫L（V）为V的对偶空间。
定义2：（赋范空间的对偶空间）设X为赋范空间，