随机存储问题的(s,S)概率模型

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[摘要] 随机模型作为一种概率模型，在问题中如果必须考虑随机因素对研究对象的影响时，有着不可替代的优势。本文研究随机存储问题，针对问题本身特点，在合理假设基础上，建立了随机存储问题的（s,S）概率模型，进行求解，并给出评注。

[关键词] 存储问题 随机变量 （s,S）随机存储策略

一、随机存储问题简介

存储论是运筹学的重要分支之一，现实生活中到处都可以碰到存储问题。如某商场购进某种批发商品，买的数量越多，价格越便宜，获利越大，但买得越多，占用资金越多，占用库存越大，且如果太多还会造成积压，又要削价处理，人力物力都受损，如果一次进货太少，价格高，订货费增加，又易发生缺货现象，失去销售机会而减少利润，这就产生了进多少商品使商场获利最大的问题，也就是一个存储问题。又如某工厂按现有人员编制每年可生产一定数量的某种产品，而生产这种产品需用一定数量的某种原材料，这种原材料不需每日供应，但不得缺货，缺货将导致停工待料，影响生产计划，每次订购原材料需要费用，定购次数越多，费用越大，但为节约订购费用又不能订购次数太少，订购次数少，势必每次订购原材料多，每月的原材料保管费就增大，那么最佳的订购量和订货次数又是多少呢？这仍是存储问题。像商品进货这类问题，由于需求具有随机性，称这类存储问题为随机存储问题；像工厂进原材料这类问题，需求是确定的，这类问题称为确定性存储问题。

二、（s,S）型随机存储问题提出及分析

商店在一周内的销售量是随机的，每逢周末经理要根据存货的多少决定是否订购货物，以供下周销售。适合经理采用的一种简单的策略是制定一个下界s和一个上界S，当周末存货量不少于s时就不订货，当存货少于s时则订货，且订货量使得下周初的存量达到S。这种策略称为（s,S）随机存储策略。为使问题简化，只考虑订货费、储存费、缺货费和商品购进价格，存储策略的优劣以总费用为标准。显然，在平均意义下的总费用与（s,S）策略、销售量的随机规律，以及单项费用的大小有关。

三、（s,S）型随机存储问题模型的假设、建立与求解

为叙述方便起见，时间以周为单位，商品数量以件为单位，我们作以下假设：

1.每次的订货费为C0（与数量无关），每件商品的购进价为C1，每件商品一周的储存费为C2，每件商品的缺货损失为C3。C3相当于售出价，所以C1＜C3。

2.一周的销售量r是随机的，r的取值很大，可视为连续型随机变量，其概率密度函数为p(r)。

3.记周末的存货量为，订货量为，并且订货后能立即到货，于是下周初的存货量为+。

4.一周的销售是集中在周初进行的，即一周的储存量为+-r，它不随时间而改变。

按制定（s,S）策略的要求，当周末存货量≥S时，订货量 ＝0;当0且令 +＝S，确定s，S应以“总费用”最小为标准，因为销售量r的随机性，储存量和缺货量也是随机的，致使一周的储存费和缺货费也是随机的，所以目标函数应取一周总费用的数学期望，即长期经营中每周期费用的平均费用，下面简称平均费用。

由假设可知平均费用为:

（1）

其中(2)

我们先在>0的情况下，求，使 达到最小值，从而确定S。为此计算:

(3)

令，记，并注意到，可得:

(4)

这就是说，订货量 加上原来的存货量 达到（4）式所表示的S，可使平均费用最小。由（4）式可以知道，当商品购进价C1一定时，储存费C2越小，缺货C3越大，S应越大，这与常识是相符的。

s应为方程的最小正根。

四、模型的有关评注

这个模型只考虑一周的存储与需求，称为单时段的随机存储策略，其实还可以考虑多时段的情形。此模型中需求是连续型的随机变量，如果需求是离散型的随机变量，只需将上面的积分号改成求和号同样可以求解。

参考文献：

[1]刘元亮等:科学认识论与方法论[M]．清华大学出版社，1987

[2]姜启源谢金星:数学模型[M]．高等教育出版社，2003

[3]王以治胡元明:数学建模[M]．华中科技大学出版社，2006