基于Nelson―Seigel、Svensson、VRP模型的中国国债利率期限结构构建
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引言
利率期限结构是用于描述在给定起始日条件下，到期期限与利率之间关系的函数表达形式，也称为利率曲线。根据利率性质的不同，可以分为零息曲线（即期利率）、瞬时远期利率曲线和平价收益率曲线。利率期限结构直接反映了资本市场对未来利率走势的预期，对市场上不同风险偏好的投资者的投资行为提供了参考。在国外，利率曲线走势是中央银行进行货币政策调控的重要参考因素。货币政策制定者可以利用远期利率来预测未来某个时间段的市场利率，从而根据各自不用的经济发展目标对货币政策进行调整。此外，利率期限结构作为未来现金流的贴现因子，是各类金融衍生品定价、资产定价、保值和风险管理、套利以及投机交易的基准。随着中国债券市场的迅猛发展，债券及债券衍生品，如国债期货、互换、CDS等必将雨后春笋般出现在中国的金融市场上，成为资本市场和货币市场的一个重要组成部分。国债收益率曲线作为所有证券的定价基准，揭示了市场利率的总体水平和变化方向，是投资者必不可少的分析工具，构建国债利率曲线意义重大。
国外债券市场经过半个世纪的发展，已有大量学者对利率期限结构进行研究，利率期限结构的数学模型日臻完善。利率曲线构建可以最早可以追溯到债券研究的先驱David Durand （1942），采用一簇单调的包络线来刻画利率期限结构。利率曲线构建大致分为直接法和间接法两类。直接法包括息票剥离法、线性插值法、多项式插值法等。直接法产生较早，使用简单，适用于债券品种丰富、流动性高、买卖价差小的成熟的债券市场。不过，直接法拟合度不佳，此外会遇上债券到期日相同，由于息票率不同而导致得收益率不同的情况。而间接法解决了直接法无法选择合适的收益率的问题，且在发展中债券市场也适用。间接法包括样条插值法（多项式样条法、指数样条法）、Nelson-Siegel模型、扩展的Nelson-Siegel模型即Svensson模型、Varieble Roughness Penalty模型（简称VRP模型）、Vasicek 模型等。J. Huston McCulloch （1971， 1975） 提出了多项式样条法，用分段的多项式函数刻画贴现函数。Vasicek and Fong （1982）提出了指数样条法，用分段的指数函数表示贴现函数，提高了平滑性。但此两种样条法对数据过于敏感，参数稳健性差，经济意义不大。为此，Nelson&Siegel（1987）提出了一个用参数表示的瞬时远期利率模型，模型不同部分用以刻画利率长期、短期、中期效应，参数不多，却能解释90%以上的利率变动，对单调型、驼峰型、S型等众多形状的利率曲线都有不错的拟合效果。Svensson（1994）提出了扩展的Nelson-Siegel模型，亦成为Svensson模型，该模型增加了两个参数，更有利于刻画短端较为弯曲的利率曲线结构。近年来Anderson&Sleath（1999）又提出了VRP模型，较运用单一函数刻画利率曲线的Svensson模型而言，三次分段样条函数，由分段带来了拟合不同部分的利率曲线的相对独立性，还剔除了异常样本，提高了模型的可靠性。此外，Svensson模型由于模型自身的特点会在利率长端趋向渐进，无法刻画市场数据反应的长端斜率下倾的趋势；而VRP模型就没有这个缺陷。而且，VRP模型还可以在不扭曲长端曲线的前提下，利用更多的市场数据改进短端的拟合精度。因而，很快在实践中推广。不过VRP模型在提高精度的同时，也降低了曲线的光滑性，降低了运算速度，实践中需合理权衡。
国外成熟的债券市场上，经过多年发展，已经有了相对完善的利率期限结构的数学模型，并被广泛应用于实际的市场中。然而中国债券市场仍处于初步发展阶段，利率曲线的研究和应用还十分有限。比如杨大楷等人（1997）采用一元线性回归方程和线性插值的方法对收益率曲线进行建模分析；邵斌、徐蓉等人（2003）利用Nelson-Seigel、Svensson模型进行国债收益率曲线构造。此外我国债券市场起步较晚，产品较少，定价偏误较多，仅凭中债和万德提供的关键期限点的数据远不能满足中国迅速发展的债券市场的需求。更重要的是，中债编制利率曲线的HERMITE插值模型过于陈旧，模型存在理论上的缺陷。作为数据服务商的万德，没有提供编制模型的具体模型，所给出的结果亦不够精细，对计息方式、日期调整的参数调整也有待修正。这对于需要精确量化的债券市场而言，实在是远远不够的。
本文着眼于国债利率曲线的理论模型构造和具体实现。国债的信用等级高、流动性好，国债价格所隐含的收益率可以被当作是无风险利率来处理，而无风险利率是任何利率研究的基础。本文通过编程实现了债券利率模型中经典的Nelson-Siegel、Svensson模型以及现阶段国外大型金融机构广泛采用的VRP模型，采用万德债券价格数据，通过EXCEL处理后输入模型得到即期利率曲线和远期利率模型，并通过事后筛选过程剔除异常样本进行调整，得到精确的国债利率曲线。
一、术语简介
利率期限结构是用于描述在给定起始日条件下，到期期限与利率之间关系的函数表达形式，也称为利率曲线。根据利率性质的不同，可以分为零息曲线、瞬时远期利率曲线和平价收益率曲线。零息曲线描述的是当前市场上虚拟的零息债券和到其限期相关的收益率，也是将未来现金流贴现至当前的贴现因子曲线。瞬时远期利率是当前市场下，根据无套利原理计算得到的未来某一个时间点的利率水平，主要用于分析当前利率期限结构下，未来利率期限结构的走势。平价收益率曲线主要用于当前市场下，定价附息债券的票面利率。
零息利率是指从基准日开始，期限为t的时间段内的年化利率水平。在基准日确定的情况下，是期限t的一元函数。即期利率常用表示，表明经过期限t之后，基准日的1元的货币时间价值为。
远期利率是指在当前基准日情况下，未来每个时间点s开始，期限为的一段时间内的年化利率水平。在基准日确定的情况下，是未来时间点s和期限的两元函数。远期利率常用 表示。根据无套利原理，即同样的现金流产生同样的货币时间价值，可以得到远期利率和即期利率的关系式：
--------------（2.1）
当趋于0时，便得到瞬时远期利率，表示在当前基准日下，未来时间点s的利率水平，即
---------------------（2.2）
平价收益率利率是指在给定零息利率条件下，期限为t的债券平价发行时的票面利率，常用表示。即
-------------（2.3）
其中，ti表示第i 次付息时间。
可以看到，零息利率曲线、瞬时远期利率曲线和平价收益率曲线三者之间可以相互转换。当得到其中一条曲线的函数表达后，另两条曲线的函数表达形式可以通过变化求得。因此，在利率期限结构的构造过程中，只需要关注其中一条曲线的构造。在实际应用中，主要是构造瞬时远期利率曲线和零息曲线。
为后文阐述方便，我们在此引入贴现因子的概念。贴现因子是期限t的函数，表示距基准日时间期限为t的1元资产在基准日的现值，常用表示。即
------------------（2.4）
在连续时间计息情况下，写成
--------------（2.5）
由（2.1）、（2.2）、（2.4）、（2.5）不难推出在连续时间计息情况下，远期利率关于折现函数有一个良好的解析表达式，即
---------------（2.6）
因此，又可以把远期利率或者零息利率曲线转换成贴现因子曲线。
二、构造原理
我们给出在实际应用中构造利率期限结构的基本原理。
第一步，得到债券二级市场上的债券样本净价数据，利用MATLAB中的BNDYIELD函数计算出每个样本的TYM（到期收益率）；第二步，确定需要拟合的目标利率曲线的类型及模型。类型即上文提及的瞬时远期利率曲线和零息曲线，曲线模型为Nelson-Seigel模型、Sevensson模型及VRP模型。第三步，通过最优化目标函数得到参数。最优化目标函数主要为久期加权价格偏差、价格偏差或收益率偏差函数。第四步，将所得曲线对债券样本进行反向定价，通过事后筛选法则对构造函数进行调整，进而得到精确化的利率期限结构曲线。
简单而言，整个构建过程是一个最优化过程。确定了目标利率曲线的类型和模型，就能反向计算样本债券的理论价格，进而令久期加权的价格偏差函数最小，得到曲线的参数。但由于现阶段中国债券的交易模式主要为询价模型，万德提供的报价数据并非完全都是成交价格，存在一定的虚假报价数据，因此需要进行样本筛选。一般的筛选法则有事先筛选和事后筛选两种。事先筛选法则是指在进行曲线拟合前根据一定的筛选法则对样本进行剔除，然后进行曲线拟合。事后筛选法则是指事先不对样本进行任何处理，在得到拟合曲线后根据反向计算得到的价格偏差或收益率偏差进行剔除，并再次进行拟合，直到价格偏差或收益率偏差满足一定的条件。事先筛选的优点在于简单明了，可以凭借经验进行直观判断，而缺点在于筛选法则过于直观，当数据信息量巨大时容易造成错误的剔除。事后筛选的优点在于依赖客观准则，更科学更有效。缺点在于对计算器的运算速度要求更高。
本文对事先筛选和事后筛选都做了一定的研究，通过EXCEL处理进行事前筛选，同时编制了事后筛选的Matlab程序，并提出了基于事后筛选的进一步优化建议。
三、构造流程图
利率期限构造图：
四、模型介绍
设从债券市场的到债券样本量为N，每个样本的价格为Pi， 。
记贴现因子曲线的模型为（即），其中为估计参数向量。那么问题即转化为令：
-----------------（2.7）
最小，得到的估计值。其中，为权重系数，为估计价格，即
-----------------（2.8）
其中，mi表示第i个债券的现金流次数，Fij表示第i个债券的第j次现金流，tij表示第i个债券的第j次现金流的支付时间点。
代表了在目标函数中第i个债券样本所占的权重，决定了第i个债券信息的重要性。当均等于1，即每个债券权重相等时，即为价格加权模型。当等于每个债券的加权久期时，即为加权久期模型。此时，Di为第i个债券的久期， yi为第i个债券的到期收益率。
可以看到，利率期限结构构造的核心问题是贴现函数的构造，或者等价地说，是瞬时远期利率的构造。nelson-Siegel模型中，构造了瞬时远期利率的形式：
----（3.1）
其中，为需要估计的参数向量。
Svensson在Nelson-Siegel模型基础上做了扩展，将瞬时远期利率的形式修改为以下形式：
（3.2）
以便更好的拟合利率曲线。
为了使拟合的曲线具有更好的光滑性、平稳性、流动性，近年来学术界又提出了Variable Roughness Penalty模型，简称VRP。在VRP模型中，贴现因子函数被构造出来，利用三次样条的方式，标准形式如下：
---（3.3）
以下是由Lancaster和Salkauskas提出的n次样条线性组合通用形式：
（3.4）
如果
最优化目标函数也被重新修改，添加了惩罚项函数。具体形式如下：
------（3.5）
其中，M债券样本中最长期限，为惩罚函数，为瞬时远期利率的两阶导数。
五、实例分析
我们从万德数据库得到2012年11月20日和2012年12月6日的记账式国债报价数据。当日未交易的样券没有反映债券的真实报价，存续期未满一年的债券万德算法与理论算法有重大偏差。基于此，从150余只样券中删除当日未有交易的样券和存续期未满1年的样券，分别获得28、26只当日有交易的样券。通过对删选后的数据进行处理，获得债券样本的起息日、到期日、票息，净价、Settlement、付息次数，将处理后的数据输入MATLAB。在本文中令，即采用价格加权模型。令目标函数求得在不同模型下的参数和目标函数值。
1、Nelson-seigel模型
2012年11月20日最优参数组合为：目标函数的最小值为：。
2012年12月6日最优参数组合为：，，目标函数的最小值为：。
2012年11月20日和12月6日的国债实际收益率曲线和用Nelson-Seigel模型拟合的理论即期收益率曲线如图1、图2所示。
2012/11/20收益率曲线拟合图
图1
2012/12/06收益率曲线拟合图
图2
2、svensson模型
2012年11月20日最优参数组合为：，，目标函数的最小值为：。
2012年12月6日最优参数组合为：，，目标函数的最小值为：。
2012年11月20日和12月6日的国债实际收益率曲线和用Svensson模型拟合的理论即期收益率曲线如图3、图4所示。
2012/11/20收益率曲线拟合图
图3
2012/12/06收益率曲线拟合
图4
2012年11月20日在相应的时间分段点上对应的三次样条系数分别为：
目标函数的最小值为：
2012年12月6日在相应的时间分段点上对应的三次样条系数分别为：
目标函数的最小值为：
2012年11月20日和12月6日的国债实际收益率曲线和用VRP模型拟合的理论即期收益率曲线如图5、图6所示。
2012/11/20收益率曲线拟合图
图5
2012/12/06收益率曲线拟合
图6
综上所述，Nelson-Seigel，Svensson，VRP三种间接法模型对实际收益率都能进行较好的拟合。如表1所示， Nelson-Seigel，Svensson模型在选取的不同时间点上拟合优度略有差别，而VRP模型均方根误差一直最小，显著优于Nelson-Seigel，Svensson模型。
表1 三种模型均方根误差比较
六、结果分析
本文从拟合程度和曲线的光滑性、稳定性、灵活性对三种模型进行了分析，认为VRP模型对国债利率期限结构拟合是最合适的，因而采用VRP模型。
主要理由有：1、VRP模型拟合得到的均方根误差最小，表示拟合程度最优。2、VRP模型具有很好的光滑性，有利于后续的利率走势分析。3、VRP模型较之其他两个模型更具稳定性，即单个数据的突变不会对曲线形状产生明显的影响。4、VRP模型的利率曲线远端因数据样本数据的变化而造成的变动较之其他两个模型更小，这更符合是债券市场中远端利率变化较之于短端更小的实际情况。
基于此，我们采用VRP模型对2012年11月20日的国债进行即期和远期的利率期限结构构建，如图7
图7
七、模型的完善
虽然本文已经构建了利率期限结构完整的构造流程图，但还有不少方面值得关注和改善。首先，对于样本的筛选法则还可以进行更深入的讨论。其次，对目标函数的构造也需要进一步的探讨，可以根据中国市场的实际情况来决定加权久期偏差函数还是收益率偏差函数，或者其他的最优化函数。
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