利用汉诺塔游戏复习等比数列

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摘 要： 等比数列是高考中重点考查知识，主要考查等比数列的通项公式，前n项和公式。通过让学生进行汉诺塔游戏复习等比数列，使学生更投入，理解更深刻，且学会将等比数列的知识应用于日常生活中，体会数学来源于生活并应用于生活的思想。

关键词： 等比数列 汉诺塔游戏 通项公式 前n项和公式

教材：普通高中课程标准试验教科书数学必修5（人民教育出版社）

课题：等比数列复习课

教学目标：

知识与技能目标：

（1）进一步理解等比数列的通项公式，以及前n项和公式

（2）掌握等比数列的应用

过程与方法目标：

（1）培养问题解决能力及合作交流能力

（2）培养逻辑推理和思维能力

（3）提高运算能力和转化能力

情感态度与价值观目标：

（1）通过解决问题，感受等比数列的便利

（2）体会数学来源于生活并应用于生活

教学模式：讲授式

教学重点：等比公式的通项公式和前n项和公式的求解

教学难点：等比公式的通项公式和前n项和公式的求解

教学准备：多媒体课件

教学程序：回顾总结―游戏时刻―感悟反思―意犹未尽

教学过程：

（1）回顾总结（约7分钟）

教师：我们已经学习过等比数列的相关知识，下面请同学们相互讨论，填好以下表格。

（2）游戏时刻（约25分钟）

教师：同学们对之前的知识掌握得不错，下面老师就和大家一起放松一下，玩一个游戏――汉诺塔。大家知不知道什么是汉诺塔？其实汉诺塔游戏来自一个传说：传说在古代印度的贝拿勒斯圣庙里，安放了一块黄铜板，板上插了三根宝石柱，在其中一根宝石柱上，按自上而下由小到大的顺序放有64个金盘，而汉诺塔游戏类似的有三根柱，其中左边的一根柱上有n个自上而下由小到大的盘子，要求把这n个盘子按规则移到最右边的柱子，规则如下：1.一次只能移动一个盘子；2.盘子只能在三个柱子上存放；3.任何时候大盘不能放在小盘上面。（教师打开计算机中的汉诺塔游戏。）同学们，老师的电脑上已经安装了汉诺塔游戏，现在我们进入第一关，有1个盘子，哪个同学想上来闯关？请一位同学上来闯关，其他同学协助他用移动次数最少的方法闯关并记录下对应的盘数和次数，分别记为n和a。

教师：好，时间关系，我们的游戏就玩到这，有兴趣的同学可以继续在课后再闯关。观察这个数列，大家猜一猜这个数列的通项公式是什么？（停顿）我听到有许多同学认为是a=2-1，正确吗？数学是一个严谨的学科，即使我们猜测得十分有把握，也不能就此下结论，必须得验证我们的猜想。该如何验证？我们先来思考这个问题假设有n（n≥2）个盘子，要把n个盘子移动到第三根柱子，首先该怎么做？（停顿）首先，得把大的盘子移动到第三根柱，在此之前该怎么做才能实现这个目标？先把上面n-1个盘子移动到第二根柱子，此时相当于什么过程？（停顿）其实此时，我们将前n-1个盘子从第一根柱子移动到第二根柱子，就相当于是闯了第n-1关，因此所移动的次数是a次。其次，就可以轻松地将最大的盘子移动到第三根柱子上了。最后，只要将第二根柱子的n-1个盘子移动到第三根柱子既可完成这次闯关了，这里也相当于闯了第n-1关，因此移动的次数是a次。则由此过程可得结论：a=2a+1。由此可得递推公式a=1a=2a+1（n≥2），如何求解出a？（让学生思考，教师在教室巡视协助，让学生上台演示结果。）将a=2a+1转化为a+1=2（a+1），即可将问题转化为求首项为a+1=2，公比为2的等比数列{a+1}的通项公式，利用已学的等比数列的知识便可得a=2-1，同学们的结果是否一致？

如果我们闯过了n关，一共移动了多少次盘子？（让学生思考完成）事实上，只要把每一关的移动次数相加即可得到答案，即相当于求解这个数列的前n项和。令b=a+1，则{b}为首项为2，公比为2的等比数列，b=b•2=2，由等比数列前n项和公式可得s===2-2，则s=s-n=2-2-n为所求。

如果我们要把贝拿勒斯圣庙里的第一根宝石柱中的64个金盘移到第三根宝石柱至少要移动多少次？同学们课下一起讨论完成。

（3）感悟反思（约5分钟）

教师：刚刚我们解决汉诺塔游戏中所遇到的问题时用到了哪些知识？（让学生回答，教师再总结。）

首先，我们用到了两种方法求解数列的通项公式：1.观察法；2.转化为已知数列求和，在此转化为等比数列求和。至此，我们已经学习了四种求解数列通项公式的方法：1.观察法；2.化为等比数列、等差数列；3.利用a=s-s；4.利用递推公式或递推关系，其中等差数列递推公式：a=a （n=1）a=a+d （n≥2），等比数列递推公式：a=a （n=1）a=aq （n≥2）。

其次，运用了前n项和公式解决问题。

等比数列前n项和公式：s=n•a（q=1）s=（q≠1）

等差数列前n项和公式：s==na+•d

最后，掌握求解形如a=a（n=1）a=qa+b（n≥2）的数列{a}的通项公式的方法。

由λ=可得λ=，可得a+λ=a+λ（n=1）a+λ=q•（a+λ）（n≥2），则{a+λ}为首项为a+λ，公比为q的等比数列，由等比数列通项公式可得a=（a+λ）•q-λ即为所求。

（4）意犹未尽（约三分钟）

作业：

1.已知两等差数列{a}和{b}的前n项和分别为S和T，若=对一切n∈N成立，求（1）的值；（2）的值。

2.从盛满一升酒精的容器中倒出升，然后用水填满，再倒出升，又用水填满，这样进行5次，则容器中剩下的纯酒精升数为多少？

参考文献：

［1］人民教育出版社课程教材研究所.中学数学课程教材研究开发中学.普通高中课程标准试验教科书数学必修5.北京：人民教育出版社，2010.4，（12）.

注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文

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