利用改进的历史模拟法计算沪深300的VaR

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摘要：传统历史模拟法计算VaR的方法对于结构的变化调节很缓慢，由于对过去的数据取相同的权重，使得其对管理金融风险的过程中的极端损失不敏感，事实上近期的收益率信息以及极端事件的信息对短期未来的影响将可能更大。本文利用一种基于历史模拟法的改进历史模拟计算股指沪深300的VaR，在一定程度上弥补了传统方法的劣势，利于在实际操作中简单、高效地计算VaR。

关键词：VaR，历史模拟法

1． VaR的意义和定义

VaR（Value at Risk）是一种利用统计技术来度量市场风险的方法。目前，市场风险VaR已经成为进行金融风险管理的新标准和新方法。1994年J.P.Morgan 银行首先公布了他们的VaR系统, 它能够测评全世界30个国家140种金融工具的VaR大小。由于作为进行市场风险度量的一种工具, 它不仅可以给股份的持有者提供风险量化指标, 指导内部决策的制定;还可以在进行投资决策时, 对预期风险和收益进行权衡。因此, 对VaR的理论完善和应用拓展已经成为国内外相关学者的一个研究热点。

VaR的一般定义为：设 表示投资一定数额的资产 后, 在某一时期 内的损失额（也称负收益）,是一个给定的概率, 称满足方程

的 为该资产（组合）在持有期 内置信度为 的VaR（风险值），记为 。注意这样定义的VaR是一个正数。

由此可见VaR反映了给定置信度下一定持有期内资产的最大预期损失, 也即发生损失大于给定VaR的概率小于 , 换句话说我们可以以 的概率保证损失不会超过VaR。这一数据不仅给出了公司市场风险的大小, 同时也给出了损失的概率。

其中 为初始投资-即 时刻的资产（组合）。因 表示的是 内的损失，故 。由于 是一个随机变量,因此 也是，而 可等价于 。如果我们记 为 的均值， 为 的标准差， 为标准化的 周期收益率随机变量 的分布函数, 则有

其中 是没有标准化的 的分布函数 的 分位点

从（4）式可以看出计算VaR需要三个要素：

1）置信度 ；

2）持有期 的长短

3）资产（组合）收益率 的分布特征

其中最关键的是 周期收益率 的分布特征。

我们定义两个常见的收益率 ：

1）算术收益率序列

式中 为 时刻资产的价格

2）几何收益率序列

2． 计算VaR的历史模拟法和改进的历史模拟法

2.1 计算VaR一般来说有三种方法, 分别是参数、历史模拟法和蒙特卡洛模拟法。一般需利用两种或两种以上的估计方法来计算VaR, 最后加以比较权衡。我们选用历史模拟法。历史模拟法是一种基于历史数据去推断未来的方法, 它利用顺序统计量和经验分布函数进行计算

设 是过去一段时间内的 周期收益率,是它们的顺序统计量经验分布函数为

其中 表示集合的基数, 即所含元素的个数.

当 是独立同分布的样本时, 根据概率论中的格利文科定理有

由此可以证明:

在历史模拟法中,, 我们可分别推导出算术收益率和儿何收益率情况下的VaR计算公式:

2.2 改进的历史模拟法：

历史模拟法计算较简便且效率较高，其局限性主要在于：对于结构的变化调节很缓慢, 因为一次或偶尔几次的极端事件对整个收益率分布的影响有限, 即当在管理金融风险的过程中已经出现了极端损失, 再利用以前较长时间的数据进行的历史模拟法将要特别小心; 历史模拟法对过去的数据取相同的权重, 而事实上近期的收益率信息对短期未来的影响将可能更大。传统的历史模拟法的做法是, 对历史的所有数据进行从小到大进行排列, 选出相应的分位数作为VaR。问题在于如果有100 个历史收益率数据, 那么将会有一个分位数; 如果有10000个数据, 得到的还是一个数据。那10000 比100 到底好在什么地方呢? 它更真实地反映了收益率的分布, 但是再真实的分布也不能对未来进行预测。本文利用一种基于历史模拟法的改进历史模拟计算VaR,它具有计算简便和预测准确的特点, 利于在实际操作中简单、高效地计算VaR。

对于 个历史收益率数据, 选择其中 个, 共有 种选法。记每次选出来的 个数据为 ， ，记它的 分位数为 ， 。我们将得到 个 分位数。根据对风险的不同敏感度，选择相对应的分位数作为VaR。它从某种程度上反映了收益率的真实分布中 分位数的信息。

定理1:( 格理汶科) 对任意给定的自然数 , 设 是取自总体分布函数 的一个样本观察值,为其经验分布函数, 记: 则有 。

此定理告诉我们经验分布函数可以愈来愈接近总体分布函数。因此我们用经验分布函数的 分位数来逼近总体分布的 分位数。

定理2: 设 是来自具有密度函数 的总体的一个样本, 对给定的 ， 在总体 的分位数 处连续，且 ，又定义 ，使得 ，则对样本的第 个次序统计量 有 。 此定理说明，经验分布的分位数是以总体分位数为均值呈正态分布的。

3． 用沪深300日收益做实证并用kupiec的失败频率检验法检验其准确性

3.1 沪深300日收益的分布函数估计

沪深300 指数选取了沪深两市具有市场代表性的300只样本股, 能够反映我国证券市场的概貌和运行状况, 具有可操作性和投资性, 能够作为投资评价尺度及金融衍生产品的基准指数, 因此本文采用沪深300 指数作为本文的研究对象。本文选取时间为2005年4月6日到2008年6月6日的日数据，首先运用非参数方法估计出其分布函数：（具体程序见附录）

3.2用历史模拟法和改进的历史模拟法对沪深300指数进行实际计算

3.2.1利用传统历史模拟法计算var

对沪深300指数的对数收益率, 选择置信度为95%，进行实际计算, 步骤如下：

( 1) 将沪深300 指数日对数收益率数据按升序排序。

( 2) 用样本容量N=770 乘以相应的显著性水平( α=0.05) , 并取整。即n=Int(770*0.05)=Int(38.5)=39。

( 3) 将此数所对应的收益率作为VaR 的估值: VaR=-0.0233。

3.2.2改进的历史模拟法计算VaR

利用本文提出的改进历史模拟法计算95%的VaR, 我们对N= 770个加权的收益率, 每次依次按时间先后顺序取K=100个,即第一次取第1个到第100个数据、第二次取第2个到第101个数据, 分别计算5%分位数并依此类推(本文只是提供一种选取这M个数的方法) 。由此计算出的5%分位数的波动区间是( 0.0238, 0.0354, ) , 均值（即VaR）= 0.0288, 标准差= 0.00403。按定理2,此分位数的极限分布是正态的。

3.3运用Kupiec 的失败频率检验法来进行两种历史模拟法的准确性检验。

VaR模型的准确性检验方法很多, 其中Kupiec 提出的失败频率检验法是比较直观、有效的的模型检验方法, 使用起来也比较简单、易行。假定计算VaR 的置信度为c, 实际考察天数为T, 失败天数为N, 则失败频率为p(N/T)。零假设为p=p*。这样对VaR 模型准确性的评估转化为检验失败频率p 是否显著不同p*。

由二项式过程可得到N 次失败在T 个样本中发生的概率为:。

Kupiec提出了对零假设p=p* 最合适的检验是似然比率检验:

在零假设的条件下, 统计量LR 服从自由度为1的 分布。

本文以2005年4月6日- 2008年6月6日共770个交易日的对数收益率数据为时间窗口, 通过每次移动一个窗口, 计算2007年1月4日- 2007年9月28日共181个交易日的每日VaR, 将每日实际损失超过VaR 的估计记为失败天数。选择置信度为95%, 期望的失败天数为181×5%≈9天。在零假设成立的条件下, 统计量LR~ , 自由度为1的卡方分布的95%置信区间临界值为3.84, 当LR>3.84时, 我们就拒绝模型。

根据前文沪深300指数VaR的计算结果以及Kupiec的失败频率检验的结果, 我们得出以下结论:历史模拟法没有通过模型检验, 低估了市场风险。而改进的历史模拟法更有效地利用了历史数据, 所以失败天数与预期失败天数接近。但总的来说，由于历史模拟法假定市场因子的未来变化与历史变化完全一样,而我国当前股市与历史相比存在更大幅度的波动, 所以历史模拟法在测量我国股市风险运用上存在一定局限性。

4． 结论

历史模拟法是以过去的数据为依据，所以不必对资产组合的价值变化及收益率的分布做特定的假设。因此历史模拟法的优点就是概念直观，计算简单，容易被风险管理者所接受。它不需要确定市场因子的统计分布，能够很好地处理厚尾和不对称问题，不需要估计参数。但其缺点也是是明显的，它以历史数据推断未来变化，缺乏合理性；不能提供比所观察样本还要低的预期损失；样本的大小对VaR值会产生较大的影响，产生较大的方差；由于所选的样本数量大，不能作极端情况下的敏感性测试；VaR值对所选用的历史样本期间比较敏感，较少的几个极端值对VaR值的影响较大；它赋予所有的观测值以相同的权重，也与现实不相符合，一般而言，较现在远的观测值的权重应该相应较小。改进的历史模拟方法在一定程度上更真实地反映了收益率的分布, 但是再真实的分布也不能对未来进行预测，其局限性的根源是认为收益率是独立同分布的。今后对历史模拟法的改进重点应放在如何用其他模型克服历史模拟法对风险不敏感的缺陷。

参考文献：

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（5）欧阳资生，龚曙明，《广义帕累托分布模型: 风险管理工具》，[J]，“财经理论与实践”，2005

（6）茆诗松，王静龙，濮晓龙，《高等数理统计》，[M]，高等教育出版社，施普林格出版社，1998

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