二维磁场有限单元法向上延拓

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摘 要： 位场向上延拓与变换的方法有许多种，但大多数是针对水平地形推导出来的。如果地形起伏，则必须使用数值方法。有限单元法是一种原理简单的实用的数值方法。介绍二维磁场有限单元法向上延拓。利用有限单元法的思想对相应模型进行验证，表明方法的准确性。

关键词： 二维磁场；有限单元；水平圆柱体；向上延拓

中图分类号：P631 文献标识码：A 文章编号：1671—7597（2012）0920162—02

0 前言

位场向上延拓在重磁资料解释中有着重要的应用。有限单元法却是一种原理简单的实用的向上延拓数值方法。至今从国内公开来看，在八十年代初王书惠发表过两篇关于有限单元法在磁法勘探中的应用论文，以及稍后浙江大学的徐世浙发表过关于有限单元法进行二维磁场计算、上延和换算的论文，但是这些只是做了简单的论述，并没有系统地研究[1，2]。本文是通过二度水平圆柱体的模型，利用有限元的思想与结合了磁位场的分布特点，近区边界采用顺层磁化理论来近似，远区边界则采用零近似，对求解区域进行单元剖分，深入研究了二维磁场有限单元法向上延拓，为下一步更好的应用到更复杂地形中的研究做准备。

1 磁场的第一边界变分问题

由于第一类边值问题具有很简单的形式，可以很容易得到其泛函式：

对此式求变分得：

取极值再结合边值，则满足第一类边值的等价变分问题是：

用有限单元法进行区域剖分、线性插值、单元分析、总体合成，得到以下的泛函的矩阵表达式：

其中K为系数矩阵，（4）式泛函对U求变分，并令其为零，得到所求磁场区域中各节点上的场值的线性方程组：

解这个方程组就能得到所求磁场区域中的各个节点上的场值U。

2 二度水平圆柱体的磁场表达式

设水平圆柱体沿走向无限伸长，横截面积为S，中心埋深为R，有效磁化强度为Ms，其倾角为is，则有：

3 算例

本文是利用二度水平圆柱体的磁场来检验二维磁场向上延拓有限元方法，通过fortran编程语言对算法进行计算。

3.1 一个二度水平圆柱体

设起伏地形下存在一个二度水平圆柱顺层磁化矿体，其中心埋深为R=5m，横截面积为S=4㎡，有效磁化倾角为900，有效磁化强度为Ms=100A/m。

建立网格剖分模型，在x为范围，y为范围，用矩形单元对整个区域进行剖分，矩形的长宽都为2m，然后把矩形单元剖分成两个三角形单元，最后每个节点加上地面高程。如图1所示：

在模型1中，地表外的边界都取零近似，圆柱体的中心坐标为（50，—5）m。由于模型1中的地表是起伏的，因此有限单元法向上延拓算出某一高度的场值不在一条直线上，需要进行插值处理，使其场值落在一条直线上，才能得到所求某一高度的真正场值。进行向上延拓10m的计算，结果如图2所示：

由图2可以看出计算曲线和理论曲线拟合比较好，但是两端会往上翘，是因为由近区向远区过渡没有经处理，而直接以零近似所引起的。对此问题的解决方法有两种，一是向地表两边延伸多取些场值，然后再进行有限单元法模拟，由于与实际相结合，则将会增加野外勘探的工作量，不利于应用到野外勘探。二是向地表两边延伸，场值用线性插值处理，这种方法应用到野外勘探，就会减少很多工作量。因此，将模型1往两边各扩展一个剖面长度，使磁场值线性变化到0，网格剖分模型和模型1基本一样。

然后进行向上延拓10m的计算，结果如图3所示。对比图2和图3可以得出经过扩边处理后，曲线拟合得很好。这表明了有限单元法对二维磁场向上延拓模拟的准确性。

3.2 两个二度水平圆柱体

设起伏地形下存在两个二度水平圆柱顺层磁化矿体，深部的中心埋深为R=8m，有效磁化强度为Ms1=100A/m，横截面积S1=6㎡，浅部的中心埋深为r=4m，横截面积S2=1㎡，有效磁化强度Ms2=100A/m。

建立扩展后网格模型，深、浅部圆柱体的中心坐标分别为（50，—8）m，（65，—4）m，有效磁化倾角都为900。画出地面磁场的理论曲线，可知浅部的小圆柱体对深部的圆柱体影响很大。为了消除浅部圆柱磁性体影响，突出深部圆柱磁性体的异常场值，因此应该进行向上延拓。

图4是向上延拓不同高度的场值曲线，可见向上延拓6米计算值与理论值曲线拟合得很好，只是浅部拟合不好，这是由于网格过大，无法拟合磁场的剧烈变化造成的。向上延拓8米后，磁场变得平缓，拟合得很好。

4 结论

在以上算例的实现过程中，有限单元法在二度水平圆柱体磁场向上延拓模拟的效果很好，这就证明该方法可以应用到二维磁场向上延拓中，并且具有着较高的精度。有限单元法计算精度随着延拓高度的增加而增加。在异常体附近由于难以拟合磁场的剧烈变化，精度较差，同时在靠近边界时计算精度也比较差，但经过扩边处理后，使计算精度提高了。

基金项目：广西自然科学基金项目（桂科0848021）、广西地质工程中心重点实验室开放基金项目（桂科能07109011—K003）

参考文献：

[1]王书惠，关于用有限元法作磁法勘探正演计算的理论问题[J].地球物理学报，1981，24（2）：209—217.

[2]徐世浙，应用有限元法进行二维磁场计算、上延和换算[J].地球物理报，1984，26（增刊）：843—855.

作者简介：

韦者良（1986—），男，硕士研究生，地球探测与信息技术。