从“数学的知识”走向“知识的数学”

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日常教学中，我们都有这样的感受：有些数学课，本身的思维容量比较大，这样的课就有很多创新的空间，容易“出彩”；而有的课，内容相对简单，不容易“出彩”。那么，这样的课仅仅满足于学生学得轻松，教学效果好就够了吗？到底简单的课该怎么上？

笔者认为，简单的课要上出“数学味”，关键要站在“数学”的角度而不仅仅是“知识”的角度考虑问题，引导学生从学习“数学的知识”走向体验“知识的数学”。“数学的知识”侧重于“知识”，重视“教教材”，教师考虑的是采用什么样的教学方法让学生获得知识，重在对具体教学方法的选择；而“知识的数学”侧重于“数学”，重视用教材教，即通过知识这个载体，探究知识背后的数学价值，培养学生的数学意识、数学思维，发展学生的数学素养。

一、 发展“知识”背后的“思维”

不少教师在研读教材时，往往只从知识的角度来分析和设计教学，重视知识的教学，而忽视知识背后思维价值的开发，这样对于简单的数学课，也就上不出“数学味”，不利于学生思维的发展。

例如苏教版六年级上册“倒数”一课，就数学知识的角度来看，要求学生掌握倒数的意义，会找一个数的倒数，这对于六年级的学生来说是非常简单的。那么，学习“倒数”仅仅是为以后的数学学习奠定知识基础吗？我觉得还不够，应该要挖掘教材的数学价值，在学习数学知识的同时发展学生的数学思维。

“倒数”的知识，研究的是两个数之间乘积的关系。而在小学数学中，很多内容都是研究事物之间关系的，如“平行”和“垂直”是研究同一平面内两条直线的位置关系；“因数”和“倍数”是研究两个数之间的整除关系；“加”和“减”是研究两个数量之间的和差关系。因此“倒数”的教学，要站在数学的高度，把握这一知识点之上的整个知识结构，引导学生主动联系已学的知识，贯通数学知识之间的联系，体会两个数之间的特殊关系，实现知识的自主建构。

课始，我启发学生：同学们，我们之前学过很多有关“数”的知识，其实“数”与“数”之间有很多特殊的关系，你能说说你学过的哪些数学知识是两个数之间的关系？学生交流后，教师举例：比如“（ ）×（ ）=0”，（ ）里可以填哪两个数呢？那么，两个数相乘等于1的关系是怎样的呢？今天我们一起来研究。这样，联系学生已有的知识经验，通过“两个数相乘等于0的关系”引入到对“两个数相乘等于1的关系”的探究，深化了学生对于“两个数之间的关系”的体验，体会到数学知识之间相互联系的结构化思想。

二、 展现“结果”背后的“过程”

数学知识往往是以结果的形式来呈现的。数学教学要让学生经历知识形成的过程，并在这个过程中经历观察、比较、归纳、推理等数学活动。“倒数”一课的教学，要在获得数学知识的同时，让学生经历和体验“从特殊到一般”的归纳过程和“从一般到特殊”的演绎过程，体会到数学的“普遍性”和“特殊性”。

1.从特殊到一般：体会“普遍性”

“倒数”概念的建立，是让学生在对一些具体算式的观察对比的基础上，归纳这些算式的共同点：两个乘积是1的数互为倒数，这是“从特殊到一般”的过程。在这一过程中，有一个问题必须明确，那就是“成为倒数的两个数不一定都是分数，整数或小数也可以互为倒数。”平常教学中，由于教师往往先选择分数的例子，容易让学生形成只有两个分数才能互为倒数的错误认识，即使到后面再研究整数的特例，学生已经先入为主了。

教学中，我出示：（ ）×（ ）=1，引导学生独立探究、合作交流，学生出现了四种情况：（1）小数和整数相乘的情况：0.5×2=1， 0.25×4=1 ，0.125×8=1；（2）整数与整数相乘的情况：1×1=1；（3）分数与分数相乘的情况：；（4）整数与分数相乘的情况：2×。引导学生概括这些算式的共同点：两个数的乘积都等于1，从而揭示“倒数”的概念：乘积是1的两个数互为倒数。这样，从特殊到一般，拓展了问题和思维的空间，引导学生综合应用数学知识解决问题。另外，避免了“只有两个分数才互为倒数”的错误认识。

2.从一般到特殊：体会“特殊性”

在形成“一般方法”后，再应用到对“特殊现象”的研究，这是数学“演绎”方法的体现，有利于巩固“普遍性”知识，完善学生的认知结构。在学习倒数的意义，掌握求倒数的方法后，要研究一些特殊数的倒数，如整数的倒数、1的倒数等。那么，能不能把找整数、小数倒数的方法纳入到找分数倒数方法——交换分子分母的位置这一知识结构中呢？

教学中，我首先引导学生研究互为倒数的两个分数之间的关系，小结得出：找一个分数的倒数，只要交换分子分母的位置。然后，沟通整数、小数和分数倒数之间的联系，引导学生观察：0.25×4=1，1×1=1……0.25的倒数是4,4的倒数是0.25；1的倒数是1……讨论：小数的倒数，整数的倒数，能不能也像求分数的倒数一样，把分子和分母倒过来呢？这样，从最基本的求分数倒数“把分子分母倒过来”的原始方法出发，沟通了与求整数、小数倒数方法的联系，体现了数学知识“普遍性”的特点，体会到“普遍性”与“特殊性”的统一。

三、 追问“方法”背后的“算理”

新课程理念下的计算教学，强调算法与算理的结合，重视算法的形成过程，引导学生在探索算理的基础上掌握算法。而问题是，对于简单的计算知识，学生已经能够顺利迁移原有的算法形成新的算法，这样的课，如何重视算理的教学？

例如苏教版三年级上册“整百数乘一位数的口算”一课。由于学生有了整十数乘一位数口算的基础，因此像“200×2”这样的口算，学生都会算了。学生已经会了的，教师如何教？这是一般教师比较头疼的问题。

1.提炼核心问题

本课中，对于“200×2怎么算”的问题，学生可以顺利迁移“整十数乘一位数”的口算方法：先算2×2，再在后面添两个0。在学生口算出答案后提出两个问题：你怎么能证明400一定是对的呢？为什么能先算2×2，再在后面添两个0呢？第一个问题解释了乘法的意义：2个200就是400；第二个问题解决了算理问题。教师在学生讨论交流后小结：学习数学，不仅要掌握方法，而且要知道这样算的道理。这两个核心问题的提出和解决，让本来简单的数学知识“厚”了起来，“算理”教学的重点得到了有效的突破。