基于启发式数学教学思想的命题教学设计
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一、数学命题的教学有待进一步关注
数学命题是表示数学概念具有某性质或者数学概念之间具有某种关系的判断，正确的数学命题一般表现为数学公式、法则、性质、公理、定理等（多数公式和法则是数学命题的符号化表示，可转换为文字表示的数学命题），因此将它们统称为数学命题。数学命题构成了中学数学知识结构的核心，从而使得数学命题的教学在数学教学中占有非常重要的地位，因此如何搞好数学命题的教学也自然成为数学教师持续思考的经典话题。
在某县的初中数学教师招聘活动中，笔者听了11位应聘教师关于人教版九年级《一元二次方程》中的课题：“公式法”的教学。其中8位应聘教师都基本采用如下教学方式：上一节我们学习了一元二次方程的配方法，今天我们学习另外一种方法——公式法，然后写出一元二次方程的一般形式，直接用配方法求出根，并把这种用公式解一元二次方程的方法称为公式法，之后通过例题和练习强化公式法。
诚然，在学生还没有感到学习需要的情况下，教师直白地告诉学生“今天我们学习…”，从表面上看节约了教学时间，但新学习的内容似有天上掉下来之感。虽然提到配方法，但未启发学生使其与今天新学习的课题建立内在的实质性联系，学生体验不到一元二次方程一般形式配方的必要性，不知为什么要学习公式法，怎么会想到要研究这个问题？由于学生没有经历必要的困惑阶段，没有产生疑难和问题，从而难以产生内在的学习需求，其思维活动缺乏主动性和积极性。
本节课教学重点为一元二次方程求根公式的获得及用求根公式解一元二次方程，教学难点为一元二次方程求根公式的推导，属于数学公式、性质的教学及配方法、公式法的运用，并渗透了化归思想和分类讨论思想。其中公式法的定义“用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法”是在得到求根公式后顾名思义加以描述的，并非教学重点。而11位应聘教师中有9位把教学重点局限于教科书中公式法定义的获得，只有两位应聘教师强调了一元二次方程的求根公式及特征，在突出数学学习内容的重点和本质方面体现得不够，由此暴露出新教师的课堂教学行为存有一定偏差。
教育教学思想制约和影响着课堂教学行为，数学教师只有在科学合理的教育教学思想指导下，才能使自己的教学遵循并符合教与学的规律，从而使教学效果不断提升，教学能力与日俱增。启发式教学作为中国传统教育思想的精华，是教学法最基本的方法论和课堂教学需要遵循的教学思想，其不会因为古老而过时，而是需要不断丰富和发展。由于数学是思维的科学，思维是在个体头脑中进行的，是他人无法替代或简单告诉的，在课堂中离不开教师的有效启发和引导，因此在数学教学中实施启发式教学显得尤为必要。义务教育数学课程标准（2011年版）把注重启发式、实行启发式教学作为课程的基本理念和实施建议，由此彰显出启发式数学教学的重要性。
1.启发式数学教学思想的实质
鉴于数学的学科特点和数学教学的特殊性，即数学是思维的科学，数学教学是数学思维活动的教学，对启发式数学教学可做如下概括：启发式数学教学是指教师从学生已有的数学知识、经验和思维水平出发，力求创设“愤悱”的数学教学情境，以形成认知和情感的不平衡态势，从而启迪学生主动积极思维，引导学生学会思考，使学生的数学思维得以发生和发展，数学知识、经验和能力得以生长，并从中领悟数学本质，达到和生成教学目标。
启发式数学教学中，学生数学思维真正的主动积极性并不在于频频举手和猜中教师所期望的答案，而在于教师有目的地引导学生“想数学”，使学生经历必要的认知和情感的困惑阶段，处于“欲知还未知，欲言还未能”的“愤悱”状态，以此产生内在的学习需求，从而全神贯注地、目标明确地动脑思考，在其头脑内部展开丰富的数学思维活动。
2.基于启发式数学教学思想的命题教学设计思路
数学命题学习的已有研究包括数学命题获得、命题论证、命题应用3个阶段，并且积累了一些研究成果。但就内容而言，基于启发式数学教学思想的命题教学设计研究较少，使得数学教师在命题教学中如何贯穿启发式教学思想存有诸多困惑，因此以启发式教学思想为指导如何进行数学命题的教学设计值得深思。
启发式数学教学作为数学教学的指导思想，虽然没有相应的教学模式，但基本操作思路主要包括：教学发动——创设“愤悱”的数学教学情境，引起学生思维的怀疑、踌躇、困惑或心智上的困难等，从而产生内在的学习需求，自然引入课题；学习保持——学生行为、认知和情感的深层参与，通过探究活动，求得解决疑难、困惑的路径；正确导向——教师运用启发性提示语朝着每个学生获益的方向适时适度启发，使学生逐步学会自我启发和自我探究。
基于启发式数学教学思想的命题教学设计路线图：
三、基于启发式教学思想的一元二次方程求根公式教学设计
1.创设愤悱教学情境，引发学生数学命题的内在学习需求
用配方法解下面的方程：
（1）6x2-7x+1=0，（2）2x2-4x+3=0。
教师运用启发性提示语设问：通过解上述两方程，你觉得配方法有哪些优势和不足？你发现了哪些问题？
[设计意图]一元二次方程求根公式的课例中，与公式法有实质性联系的内容是前一节所学的配方法，教师以此为新知识生长点呈现练习题：用配方法解上述两方程，既激活了学生头脑中与新知识密切相关的已有知识经验，又巩固了配方法。使学生认识到每一个数字系数的一元二次方程都可用配方法来求解，并且用配方法解具体一元二次方程的思路及步骤都相同，同时体验到配方法的局限性，即形如（1）的一元二次方程，一次项系数不是2的倍数或数字较大时配方运算较繁琐、用起来不方便。方程（2）配方后完全平方式为负数，原方程无实数根却花费时间配方，由此产生疑难和困惑，感悟到具体的配方法已经不够用了。
教师引导学生自然提出问题：能否有更简便和更一般的方法求一元二次方程的根？使学生产生寻找一般方法的内在需求。
2.数学命题的发现与推理论证
使学生认识到寻找一般方法需要写出一元二次方程的一般形式，并体验到对一般形式的一元二次方程配方的必要性，自然而然生长出今天的新内容——公式法。
教师运用启发性提示语设问：对一般形式的一元二次方程如何配方？你打算如何思考？能否类比前面的研究方法？
教师引导学生类比数字系数一元二次方程配方的步骤，经历用配方法获得一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）求根公式的推导过程。
因为a≠0，所以方程两边都除以a，得x2+x+=0，
移项（把常数项移到方程右边），得x2+x-=-，
配方得：x2+x+（）2=-+（）2，
即（x+）2=（）2。
当学生未考虑b2-4ac的符号直接开平方时，教师运用启发性提示语反问：你认为直接开平方妥当吗？是否记得开平方时对被开方数的要求？
再次引发学生的认知冲突，产生新的疑难和困惑，从而弥补已有认知的缺陷，认识到b2-4ac？叟0时才能直接开平方，从而获得一元二次方程的求根公式。
[设计意图]在使学生体验到一般形式配方必要性的基础上，类比数字系数的一元二次方程的配方法，引导学生对一般形式进行配方。在学生未考虑判别式的符号直接得到求根公式时，教师运用启发性提示语给予暗示，从而形成恰当程度的认知冲突，使学生产生了新的疑难和困惑，引发其深层思维和探索兴趣，并认识到对b2-4ac需要进行分类讨论。同时使求根公式由潜在发展水平转化为学生的现有发展水平，又为一元二次方程根的判别式与根的关系这一新的潜在发展水平做了铺垫，使学生进入新的最近发展区。
3.数学命题的理解
由上面的探究过程可知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）时，x=。当b2-4ac
教师设问：观察公式你有哪些发现？对今后解一元二次方程有什么帮助？
通过讨论加深对求根公式及条件的理解，一元二次方程ax2+bx+c（a≠0）的根由方程的系数a，b，c确定，同时让学生进一步感受到数学公式、方法的简洁美和统一美。x=叫做一元二次方程的求根公式，利用它解一元二次方程的方法称为公式法，其中b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的判别式。
[设计意图]：理解一元二次方程求根公式中各字母代表的意义及条件，把握公式的结构特征，突出数学问题的本质。
4.数学命题的应用
（1）用求根公式解前面的方程：6x2-7x+1=0。
[设计意图]回到情境中的练习，运用求根公式解方程6x2-7x+1=0，使学生体味到求根公式的优越性，感悟科学研究从特殊到一般、发现提出问题的方法。
（2）变式练习
1）6y2+13y+6=0
2）5x+2=3x2
3）x（x-2）=5-8x
[设计意图]使学生进一步体味求根公式的实质，并归纳用求根公式解一元二次方程的基本思路，即先化简为一元二次方程的标准形式再运用求根公式。
（3）运用精加工策略优化学生的认知结构，体味判别式与根的个数的关系。
1）2x2-4x+6=0
2）x2-7x-18=0
3）9x2+6x+1=0
[设计意图]上述一元二次方程1）、2）和3）的判别式分别小于0、大于0和等于0，旨在使学生运用求根公式解方程的同时，体验判别式与根的个数的关系，特别是判别式小于0时直接得到无实数根而不必代入求根公式，概括出在用求根公式解一元二次方程时可先确定判别式的值再代入求根公式，从而丰富和优化学生的认知结构。
5.数学命题的系统化
建立直接开平方法、配方法与求根公式法的内在联系，使学生感悟化归思想和分类讨论思想。
[设计意图]引导学生建立知识之间的内在联系，概括本节课的核心知识及运用的数学思想和研究方法，旨在使学生生成组织良好的数学认知结构网络。
四、结束语：数学命题教学要自然、合乎情理
学源于思，思源于疑。基于启发式数学教学思想的命题教学过程中，教师需创设“愤悱”的教学情境，使学生处于“欲知还未知，欲言还未能”的“愤悱”状态，经历必要的疑难和困惑阶段，并内化为学生自己的问题。使学生体味到已有命题、方法不够用了，才需要自然引入新命题和新方法，以此产生内在的学习需求，在头脑中展开激烈的数学思维活动，感悟到数学命题和方法的生长自然、合乎情理，从而使鲜活的数学命题和数学方法在课堂教学中自然而然地流淌出来，这里的自然主要包括：情境创设的自然、课题引入的自然、命题生长的自然、思路方法获得的自然、教学环节衔接的自然等。在教学过程中教师运用启发性提示语在思考方向、思考方法、思维策略上适时适度地点拨和启发，使学生的思维深层参与，并学会数学地思考，形成良好的数学命题网络结构。
参考文献
[1] 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）.北京：北京师范大学出版集团，2012.
[2] 韩龙淑.数学启发式教学的基本特征.数学教育学报，2009，18（6）.
[3] 周友士.基于认知建构理论的数学命题学习研究.数学教育学报，2008，17（5）.