洗衣服的数学

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张景中：河南汝南人，著名数学家、数学科普作家、中国科学院院士，曾任中国科普作家协会理事长，现任广州大学计算机教育软件研究所所长。

我们爱清洁，所以衣服脏了要洗；我们要节约用水，所以希望用一定量的水把衣服尽量洗干净. 这就提出了数学问题. 而把现实问题化为纯数学问题就叫做建立数学模型.

现在衣物已打好了肥皂，揉搓得很充分了. 再拧一拧，当然不可能完全把水拧干. 设衣服上还残留污水1斤，用20斤清水来漂洗，怎样才能漂得更干净？如果把衣服一下放到20斤清水里，那么连同衣服上那1斤水，一共21斤水. 污物均匀分布在这21斤水里，拧干后，衣服上还有1斤水. 所以污物残存量是原来的. 但通常大家不会这么办，而是把20斤水分2次用. 比如第一次用5斤，使污物减少到，再用15斤，污物又减少到的，即=. 分2次洗，效果好多了. 同样分2次洗，也可以每次用10斤，每次都使污物减少到原有量的，那么2次可以达到的效果！要是分4次洗呢？每次5斤水，第一次使污物减少到原来的，4次之后，污物减少到原有的=，效果更佳！但这样是不是达到最佳效果了呢？进一步问，如果衣服上残存水量是1.5斤或2斤，洗衣用水量是37斤，那么又该怎么洗？

你会想到用字母代替数了，这样能使问题一般化. 设衣服充分拧干之后残存水量w斤（每次拧于后残存水量不变），其中含污物m0克，漂洗用的清水A斤. 我们把A斤水分成n次使用，每次用量是a1，a2，…，an（斤）. 经过n次漂洗后，衣服上还有多少污物呢？

第一次，把带有m0克污物和w斤水的衣服放到a1斤水中，充分搓洗，使m0克污物溶解或均匀悬浮于（w+a1）斤水中. 把污水倒掉，衣服拧干的时候，衣服上还残留多少污物呢？由于m0克污物均匀分布于（w+a1）斤水中，所以衣服上残留的污物量m1与残留的水量w成正比，即=. 故m1=m0・=. 类似分析可知，漂洗2次之后衣服上的污物量为m2==. 而n次洗涤之后衣服上残存污物量为

mn=. ①

有了这个公式，也就是建立了数学模型. 下一步问题是：（1）是不是把水分得越均匀，洗得越干净？（2）是不是洗的次数越多越干净？

对固定的洗涤次数n，如何选取a1，a2，…，an，才能使mn最小？也就是使①右端的字母最大？这个分母是n个数之积. 这n个数之和是1+

+1+

+…+1+

=n+. 于是问题化为：当n个数之和为一定值S=n+时，n个数的乘积何时最大？

用“平均不等式”马上可以解决这个问题. 平均不等式说：任意n个正数c1，c2，…，cn的“几何平均数”不超过它们的“算术平均数”，即≤（c1+c2+…+cn），当且仅当c1=c2=…=cn时，两端相等. 于是得到1+

・1+

…1+

≤

1+. 这就告诉我们，每次用水量相等的时候洗得最干净，而残存污物的量是. 这就肯定地回答了刚才的问题（1）.

那是不是洗的次数越多越干净呢？答案也是肯定的，并且同样可以用平均不等式来证明. 但是数学模型和实际情形常常不一致. 比如我们在每次漂洗时，很难让污物均匀分布在水里；多洗几次固然省水，可又多用了时间；洗的次数太多，衣服又会洗破. 所以，实际上分三、四次漂洗也就足够了. 如果把时间耗费、衣服磨损再考虑进去，那就又是一个更复杂的数学模型了.