解数学选择题的实用技巧
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在考场上,几乎所有同学都会遇到不会做的题目.在这个时候,大多数同学选择的是放弃或者瞎猜.而较难的选择题都有一些解题技巧,在使用这些技巧后,不需要严谨论证也能够得出正确的答案.这些技巧不是胡想乱猜,而是有一定根据的推断,利用各种方法在没有完全做出题目的情况下得到正确的答案.
1.排除法
目前高考数学选择题为四选一单项选择题,所以选择一个符合题意的选项等于排除三个不合题意的选项.例如:范围问题可把一些简单的数代入,符合条件则排除不含这个数的范围选项,不符合条件则排除含这个数的范围选项.当然,选取数据时要注意考虑选项的特征,不能选取所有选项都含有或都不含的数.
例1.已知函数f(x)=2mx2-2(4-m)x+1,g(x)=mx,若对于任一实数x,f(x)与g(x)的值至少有一个为正数,则实数m的取值范围是
A.(0,2)B.(0,8)
C.(2,8)D.(-∞,0)
我们可以简单的代入数据m=4及m=2,容易检验这两个数都是符合条件的,所以正确选项为B.
再如,选择题中的解不等式问题都可以直接应用排除法,与范围问题类似.选择题中的数列求通项公式、求和公式问题也可应用排除法.令n等于1,2,3…即可.
使用排除法应注意积累常见特例.如:常函数,常数列(零数列),斜率不存在的直线等.
2.增加条件法
当发现条件无法使所有变量确定,而所求为定值时,可自我增加一个条件,使题目简单.
例2.设F为抛物线y2=4x的焦点,A,B,C为该抛物线上三点,若FA+FB+FC=0,则|FA|+|FB|+|FC|=
A.9 B.6 C.4 D.3
发现有A、B、C三个动点,只有一个FA+FB+FC=0条件,显然无法确定A、B、C的位置,可令C为原点,此时可求A、B的坐标,得出答案B.
其实,特值法是狭义的增加条件法.因为我们习惯具体的数字,不习惯抽象的字母符号,所以经常可以把题目中的字母换成符合条件的数字解题.
3.以小见大法
关于一些判断性质类的题目,可以用点来检验,只有某些点符合性质,函数才可能符合性质.以小见大法通常结合排除法.
例3.函数f(x)=sinxsinx+2sinx2是
A.以4π为周期的偶函数 B.以4π为周期的奇函数
C.以2π为周期的偶函数 D.以2π为周期的奇函数
我们通过计算f(π2),f(-π2),f(3π2),f(5π2)就可以选出选项A.
类似地,周期性,对称性,奇偶性都可通过试验得到,赋特殊值,以小见大,结合排除法.图像平移的问题也可通过点的平移,选出正确答案.
4.极限法
有时做题,我们可以令参数取到极限位置,甚至不可能取到的位置,此时的结果一般是我们最后结果的范围或最值.
例4.设a>1,则双曲线x2a2-y2(a+1)2=1的离心率e的取值范围是
A.(2,2)B.(2,5)
C. (2,5)D. (2,5)
我们令a=1得到一侧结果,令a趋于正无穷,此时是等轴双曲线,可得另一侧结果,选项为B.
5.关键点法
抓住题目叙述的关键点,往往能够排除很多选项,达到出奇制胜的效果.
例5.设f(x)=
x2,|x|≥1,
x,|x|
g(x)是二次函数,若f(g(x))的值域是[0,+∞),则g(x)的值域是
A.(-∞,-1]∪[1,+∞) B.(-∞,-1]∪[0,+∞)
C.[0,+∞)D.[1,+∞)
看到二次函数的条件,应该排除A,B选项.此题最终应选择C.
6.对称法
数学中很多东西具有对称性,尤其是求最值的问题大多在字母相等的时候取得.
例6.已知x>0,y>0,x,a,b,y成等差数列,x,c,d,y成等比数列,则(a+b)2cd的最小值是
A.0 B. 1 C.2 D.4
令x, y, a, b, c, d都相等,可得出答案D.
7.小结论法
积累些小结论,做题事半功倍.比如三角函数的周期与函数本质次数的关系,正四面体与球中的数据,线性规划取得最值的问题.
例7.偶函数f(x)的定义域是R,它在(0,+∞)上是减函数,则下列不等式成立的是
A.f(-34)>f(a2a+1)B. f(-34)≥f(a2a+1)
C. f(-34)
分析:本题可以利用偶函数这样一个性质:若f(x)是偶函数,则f (│x│)=f(x).利用这一简单的结论可知,只要比较f (│-34│)与f (│a2a+1│)的大小即可,而a2a+1=(a -12)2+34≥34.
又f (x)在(0, +∞)上是减函数,f (-34)≥f (a2a+1). 故选B.
8.感觉法
做题达到一定量了,跟着感觉走也能做对题.
例8.设定义域为R的函数f(x)满足以下条件:①对任意x∈R,f(x)+f(-x)=0;②对任意x1,x2∈[1,a],当x2>x1时,有f(x2)>f(x1)>0.则以下不等式不一定成立的是
A.f(a)>f(0)
B.f(1+a2)>f(a)
C.f(1-3a1+a)>f(-3)
D.f(1-3a1+a)>f(-a)
我们发现a的范围没有任何要求,若a=2,那么f (-3)不受条件控制,所以答案只能选C.
9.归纳法(规律法)
很多数列的题目,规律是很容易发现的.
例9.双曲线x2-y2=2的左、右焦点分别为F1,F2,点Pn(xn,yn)(n=1,2,3…)在其右支上,且满足|Pn+1F2|=|PnF1|,P1F2F1F2,则x2008的值
A.40162B. 40152 C.4016D.4015
很容易得到x1=2,x2=4,可以猜到选择答案C.
10.分析选项
例10.已知非零向量AB与AC满足(AB|AB|+AC|AC|)•BC=0且AB|AB|•AC|AC| =12, 则ABC为
A.三边均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形 D.等边三角形
看到此题四个选项,我们比较容易发现A选项显然不正确.因为等边三角形是特殊的等腰三角形,所以排除C选项.而B选项与A,C,D显然不是一个系列,而高考题里正确选项与干扰项应该是统一的,所以正确答案为D.