置换群与置换矩阵的联系

开篇：润墨网以专业的文秘视角，为您筛选了一篇置换群与置换矩阵的联系范文，如需获取更多写作素材，在线客服老师一对一协助。欢迎您的阅读与分享！

由于在接下来寻找置换群与置换矩阵联系的过程中将用到同构的概念，在找寻联系前，我们先介绍群的同态与同构。

定义. 设G与G′都是群， 是G到G′的映射，若保持运算，即（xy）=（x）（y）， xy∈G，则称是G到G′的同态。

若同态是单射，则称 是单同态；若同态是满射，则称是满同态，并称G与G′同态；若同态是双射，则称是同构，并称G与G′同构，记作 。

联系.全体n×n置换矩阵在乘法之下构成一个群，与n个元素的对称群同构。

证明：首先证明全体 置换矩阵在乘法之下构成一个群，矩阵的乘法满足结合律，置换矩阵的乘法满足封闭性，因为用置换矩阵左乘一个置换矩阵得到的是那个矩阵的列向量经过置换后的矩阵，还是一个置换矩阵；用置换矩阵右乘一个置换矩阵得到的是那个矩阵的行向量经过置换后的矩阵，也依然是一个置换矩阵，这样的置换矩阵乘法满足结合律，同时，单位矩阵 是该群中的单位元，因为单位矩阵与任何矩阵相乘得到的都是那个矩阵，而所有的置换矩阵都是可逆的，其逆也是一个置换矩阵，并且即为该置换矩阵的转置。所以全体n×n置换矩阵在乘法之下构成一个群。

再看全体n元置换在乘法下是否构成群。对于含有n个元素的置换的全体来说，恒等置换即为该置换群的单位元，由置换群的性质5我们不难发现，一个置换的逆即是一个把它的对应关系反过来的置换，即 （j1，j2.......jr）1= （jr.......j2，j1），由此，所有的置换都是可逆的。而置换的乘积显然满足结合律，所以全体n元置换构成 次对称群。

上述全体n×n置换矩阵在乘法之下构成的群与n个元素的对称群之间存在着一一对应关系，这个映射关系即是，一个固定的置换矩阵对应一个固定的置换，反之亦然，一个固定的矩阵对应一个唯一的置换矩阵。具体的对应法则在置换矩阵性质6中也可以体现，例如置换（1 2 3）中代表1对应2，2对应3，3对应1，体现在3阶置换矩阵中就是矩阵的第一行元素中只有第2个元素为1，第2行元素中只有第3个元素为1，第3行元素中只有第一个元素为1。

现不妨设这个映射关系为，最后要证的即是保持运算，即

（xy）=（x）（y）由于这是一个置换矩阵与置换间的一一对应，是一个双射，方向的选取并不影响结果，我们假设映射由置换到其一一对应的置换矩阵，即为：x（x）=σPσ，

其中， σ是任意n元置换， Pσ是σ唯一对应的置换矩阵。

由置换矩阵的性质6，对两个n元置换σ和ι的置换矩阵Pσ和Pι，有PσPι=Pσ°ι 显然映射保持运算的封闭性。

同理，若映射反向，结果不变。

由此可得，全体n阶置换矩阵与n元置换一一对应，因此全体n×n置换矩阵在乘法之下构成一个群，且它与 n个元素的对称群同构。

结论：通过研究置换群的性质与置换矩阵的性质之后，我们可以类比发现，两者的性质存在紧密不可分割的联系。

首先，对于一个n元置换来说，它只能对应一个唯一的置换矩阵，在这个n元置换中，每一个数字所对应的数字是几，与其对应的n阶置换矩阵该行的那个元素即为1，其余元素为0。

其次，由于置换是一一对应，n元置换自然有n！种形式，而同一个道理，n阶置换矩阵也就有n！个。

同时，两个n元置换所对应的矩阵的乘积，即为两个n元置换的乘积所对应的矩阵。

我们还能发现，置换可以由置换的乘积构成；而在矩阵的乘法中，一个置换矩阵左乘或者右乘一个矩阵即是把该矩阵的行向量或者列向量进行置换，可想而知，如果该矩阵也为置换矩阵，那么可得，两个置换矩阵的乘积依然是置换矩阵。

由上面一点，我们发现，由于置换表示成置换乘积的方式不唯一，显然置换的乘积满足结合律；而矩阵的基本性质中有矩阵的乘法满足结合律，置换矩阵的乘法自然也满足结合律。

置换的乘积的封闭性与置换矩阵乘积的封闭性，为我们将其构成群进行研究奠定了基础。

同时，我们发现，置换的逆，就是把它其中的元素对应一一反过来，置换与其逆的乘积即为恒等置换；而置换矩阵乘以其自身的转置可以得到单位矩阵，说明每一个置换矩阵都是可逆的，其逆矩阵也为其的转置。

在最后寻找置换群与矩阵的关系时，因为置换群是一种特殊的群，而矩阵与群看似并无关系，最先的设想就是想办法把矩阵构成群。因为群要满足对运算封闭、有单位元且每个元均可逆，而矩阵的乘法满足结合律，单位矩阵可以作为矩阵群的单位元，且所有的矩阵均可逆，再缩小范围至置换矩阵，即可发现两个群之间的同构关系。

本文中对于置换群的性质与置换矩阵的性质探讨都比较浅显，两者之间应该还有更多的联系并未一一枚举出。

参考文献：

[1]张禾瑞，郝炳新，高等代数，高等教育出版社，1998.

[2]许甫华，张贤科，高等代数学，清华大学出版社，1998.

[3]许甫华，张贤科，高等代数解题方法，清华大学出版社，2001.

[4]陈景良，陈向晖，特殊矩阵，清华大学出版社，2001.