数学教学应具有“四种含量”
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高品位的数学教学应具有“四种含量”:科研含量、思维含量、文化含量、情感含量. 四种含量是一个不可分割、有机交融在一起的整体,当然在不同的教学情境中会有所侧重. 本文结合教学案例“正弦定理及其应用”围绕四种含量进行必要的述评.
一、教学过程
限于篇幅,且为了突出教学亮点,本文有选择地展示若干精彩段落.
T:这里有一幅美妙绝伦的“嫦娥奔月”图多媒体课件展示,请同学们伸展开思维和想象的双翅,发表自己的感慨.
S:类似的飞天登月的神话故事很多,中国古代人的想象能力太丰富了!随着现代高科技的迅猛发展,飞天登月已不再是幻想,而成为现实.虽然目前还只有美国、俄国的宇航员成功地登上了月球,但我国的宇航员也已实现了太空绕月飞行,相信不需多久,我国的宇航员也将骄傲地登上神秘的月面!
T:许多科学技术和理论的发明、发现和创造最初都源于幻想,通过不懈的追求和勇敢的探索,幻想终会成真!数学学习也是这样,亟需一种敢想、敢干的精神.我们今天将要研究的内容,事先没有预习吧,现在也别看书,大胆进入一个未知世界,完全通过自己的探索研究,有所发现,有所建树,并解决实际问题.欲登月须先知道月球到地球的距离,但月球离我们那么遥远,这个距离无法实际测量,用数学方法啊!今天的研究成果就可以使我们在基础理论上理解这种测量方法的实质.
在RtABC中,我们知道sinA=,sinB=,那么sinC=?
S:sinC=sin90°=1.(未预习,不看书,学生自然会得此结果)
T:能否将sinC也写成两个量比的形式?
S:sinC=.
T:我们有了三个彼此独立的等式,能否将这三个等式串在一起,成为一个连等式呢?请注意这三个等式中处于关健位置的一个量.(必要的提示)
S:斜边长c最关键,则得(c=) ==. ①
T(故意地):这就是我们今天研究的成果——正弦定理.
S:不行!这个结论只适用于直角三角形,对于任意三角形,还没有获得证明.
T:好啊,我太高兴了!看来大家已经掌握了一定的数学科研规律……(对于任意三角形的证明从略.出示图2)这才得到颠扑不破的数学真理——正弦定理.此定理源于直角三角形,经过拓展,推广到任意三角形;而在对锐角三角形和钝角三角形进行证明时,又都转化回归到直角三角形.这就是数学科研最典型的方法和数学思想最具代表性的精粹.
T(出乎学生意料,用纸将①式遮住)请说出正弦定理的内容.
S1(略停顿后,用符号语言和自然语言两种方式说出定理的内容,略).
T:你太了不起了,刚得到的结论,你就记住了!说说你是怎么记住的,有什么诀窍?
S1(在教师的启导下,共同小结得):分母“大”,分子“小”,加上正弦连比到.
T:显示的就是数学的对称和谐、神奇美妙!(课本和其他基础练习的解答略,顺应学生的心理需求)下面回到有关登月的测距问题,如图3,P点代表月球,Q代表地球上一点,请大家来当设计师,给出一种测量PQ之间距离的数学方法.
S2:在地球上找点A,可测得QA=a,∠PQA=α,若∠PAQ=90°,则PQ=.(学生的一种很自然的设想,需要的是因势利导)
T:若由于客观原因,难以保证∠PAQ=90°,只能测得∠PAQ=β,怎么办?这样,问题才更具一般性和实用价值.
S3:由正弦定理,得=,所以PQ=.
若β=90°,即得PQ=,与上面的结果一致.
T:太妙了!数学的威力无穷啊!将来肯定会实现:乘坐飞船太空游,最近一站是月球.美丽嫦娥舒广袖,吴刚捧出桂花酒!(教室里爆发出热烈的笑声)再看下题,如图4,PQ代表一座山峰的高,底部不能到达,即不能直接测得PQ的高度和AQ的距离,请设计师们给出测量PQ高度的数学方法.
S4:在AQ的方向上取B点,可测得AB=a,∠PAQ=α,∠PBQ=β.
设PQ=x,则在RtPAQ中,AQ= . ①
在RtPBQ中,BQ=. ②
①-②,得AQ-BQ=-,
即a=x(-),
解得 x= . ③
T:看来大家对直角三角形情有独钟,这一点也不奇怪,大家的初中数学学得太好了!(笑声)但这里竟没有用到正弦定理,多少觉得有点遗憾吧?
S5:可以用正弦定理,在PAB中,由正弦定理,得=,则PB=,所以PQ=PB·sinβ=
S6:也可以这样解,在PAB中,由正弦定理,得=,则PA=,所以 PQ=PA·sinα =. ④
T:果然用正弦定理要简单快捷些,真是“工欲善其事,必先利其器”啊!但问题随之而来了,③④两式的形态大不相同啊!能否将它们统一起来呢?
S7:由③,得
x===.
T:这就叫做形异质同、实现沟通,殊途同归、异曲同工,数学理性精神的光辉彰显无遗!
二、简单评析
我们确信,此节课的基本教学内容几乎所有高中数学教师都能想到,在课堂教学实施中也可基本保证“进展顺利、任务完成”. 但若欲向教学精品,乃至教学极品进击,仅仅满足于此是远远不够的,必须有所突破,有所提升,实现飞跃,依靠的就是“四种含量”.
1. 科研含量
新课标指出:“应鼓励学生积极参与教学活动,包括思维的参与和行为的参与. 既要有教师的指导,也有学生的自主探索与合作交流. 教师要创设适当的问题情境,鼓励学生发现数学的规律和解决问题的途径,使他们经历知识形成的过程.”
按此理念,数学教学应成为学生在教师的指导下积极自主进行的“发现规律和解决问题”的一种数学科学研究探索活动.此节课体现的理念与笔者完全一致,即不要求,甚至“不准”学生在课前预习.必须阐明以下五方面的理论依据.