数值模拟应用于地下水动力学课程教学的研究与实践①

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摘 要：水文过程常因其抽象性和复杂性使课堂教学难以取得良好的效果。地下水动力学中的利用高阶微分方程的计算问题是该课程的重点和难点，针对地下水动力学课程的高阶计算问题，把数值模拟方法引入到教学，以对实际的区域性地下水计算问题的求解，将地下水动力学的基本概念、基础公式、数值模拟、以及实际问题的求解完整的过程应用于教学实践，探索将数值模拟服务于教学的新方法。对课堂教学效果的调查表明，数值模拟的引入，不但增强了课堂教学表现力和教学效果，同时，有利于促进科学研究的方法和成果与教学实践的相结合。本次教学研究及实践活动所采取的方法和模式，期待为水文专业有关课程教学改革的深入进行和创新性教学研究的开展提供参考和借鉴。

关键词：地下水动力学 数值模拟 教学研究

中图分类号：G642 文献标识码：A 文章编号：1673-9795（2013）07（a）-0071-03

“地下水动力学”是水文与水资源工程、地下水科学与工程、地质工程、水文地质工程等专业的一门重要的专业基础课。学习本课程的目的在于掌握地下水运动的基本理论，能初步运用这些基本理论分析地下水运动问题，进而解决实际的水文地质问题，并能建立相应的数值模型和提出适当的计算方法或模拟方法，对地下水进行定量评价[1～2]。本课程内容当中，利用地下水运动基本方程式（二维或三维）的求解问题是一个重点和难点问题，由于有关内容的抽象性和复杂性，加之计算量较大且求解相对苦难，课堂教学难于获得较好的效果。高等学校实施以创新精神和实践能力为重点的素质教育，其关键是要求改变教师的教学方式和学生的学习方式。创造性教学目标的实现离不开创新性学习方法的正确运用[3]。地下水动力学课程要求学生具备一定的构建数值模型以及求解问题的能力。在以往的教学研究中，已不断尝试将数值模拟（计算）引入到水文专业有关课程的教学[4～5]，探索创新性教学方法。本文基于以往将数值模拟引入到水文专业课程的教学研究结果，将数值计算方法应用于地下水动力学课程中的利用高阶微分方程求解的教学实践，以对区域性地下水实际问题的求解过程为例，在教学时将地下水动力学的基本概念、基础公式、数值模拟、以及实际问题求解的整体过程进行系统地讲授，使知识结构的讲解与学生接受知识的逻辑思维更容易统一。以数值模拟为手段对抽象的地下水流况及水位进行数字化图示，提升课堂表现力，增强教学效果，探索数值模拟与教学实践更好结合的新方法，以期为水文水资源专业相关课程教学改革的深入进行提供参考和借鉴。

1 教学流程

数值模拟是以计算机为手段，通过计算和图像显示的方法，达到对工程问题、物理问题乃至自然界各类问题研究的目的。在科学技术和社会生活的各个领域中抽象出来的许多数学问题可以应用计算机计算求解，注重算法思想及与工程实际相结合[6]。数值模拟来源于对实际问题计算的需要，在建立算法和求解过程中发展、并面向实践，与计算机的使用密切结合[7～8]。数值模拟被广泛地应用于水科学与工程科学研究领域。本文针对地下水动力学课程中利用高解微分方程式的求解问题，将科研活动中区域性地下水数值模拟的实例引入到教学当中，其教学流程如图1所示。

2 数值模拟方法引入

2.1 地下水运动的基本微分方程

用于数值模拟的基础方程式为二维（准三维）地下水运动的基本微分方程，准三维系指在考虑地下水平面二维运动的基础上（沿x、y方向），同时，考虑垂向的水收支成分和过程，但数值计算时，只对x、y方向对水文要素进行差分，在垂向（z向）不进行差分。潜水（非承压水）和承压水运动的基本微分方程式如式（1）及式（2）。

潜水运动基本微分方程式：

（1）

承压水运动基本微分方程式：

（2）

式中，t为时间因子，其单位步长为0.01 h；x为空间尺度因子，其水流方向上的步长为Δx=Δy=50 m；h为对应于不同含水层的水深，（m）；H为水位，（m）；kx、ky为x、y方向的渗透系数，（m・s-1）；λ为有效孔隙率；r为雨水渗透速度，（m・s-1）；q为潜水的向下入渗速度，（m・s-1）；S为贮水系数；Tx、Ty分别为x、y方向的导水系数，Tx=kx・B、Ty=ky・B（其中B为层厚，m），（m2・s-1）；R越流因子，（m・s-1）；Q取水因子，（m・s-1）。

2.2 数值模型构建

2.2.1 有限差分

（3）

（4）

式中，n为计算时间的次序编号；i，j为栅格编号。

2.2.2 计算条件

（1）工程实例。选取某流域下游入海口前的冲积平原为区域性地下水计算对象，该区域东西长10 km、南北12 km（图2）。据对该区地理条件的调查结果，在土壤纵剖面上存在3个含水层分别为潜水层、第1承压含水层、第2承压含水层。对第2承压含水层的地下水的观测进行了观测，观测点有8个（图2中标号①～⑧）。

（2）边界条件。计算区域内的主要水体主要有3条河，下游有一个小型湖泊和海岸，3条河流分别标记为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ（图2椭圆形括弧内），湖泊和海标记为Ⅳ。据对该区水文地质条件的实际调查，计算采用第一类边界条件，即给定边界的初始水头（水位）。

（3）参数率定及编程。计算需用到各不透水层的水力学参数以及含水层的初始水位等参数，各含水层计算初始状态如图3所示，需要用计算机语言进行编程，开发用于计算的程序，相应内容较为复杂，在此略去。

2.3 数值模拟

对观测点①～⑧的地下水水位进行数值模拟，因为各点数值模拟结果的精度相差不大，给出①、②、④、⑤点的模拟结果如图4（a～d）所示，在实测结果和观测值共有的时段内，对8个点的模拟结果进行拟合优度检验，整体上，确定系数R在0.85以上，说明模模型效率较高。对数值计算结果整理，计算结束时，各含水层的水位及流况如图5所示。