方案的最优化问题

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解决方案的最优化问题常用的思路是：先根据不等式组的解集确定出方案，再结合一次函数的性质确定最优化方案.现以2010年中考试题为例解析如下，希望对同学们的学习有所帮助．

一、进货方案的最优化

例1为了抓住世博会商机，某商店决定购进A、B两种世博会纪念品．若购进A种纪念品10件，B种纪念品5件，需要1000元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品3件，需要550元．

（1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？

（2）若该商店决定拿出1万元全部用来购进这两种纪念品，考虑市场需求，要求购进A种纪念品的数量不少于B种纪念品数量的6倍，且不超过B种纪念品数量的8倍，那么该商店共有几种进货方案？

（3）若销售每件A种纪念品可获利润20元，每件B种纪念品可获利润30元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？

分析：（1）根据题目中等量关系列方程组求解；（2）设该商店购进x件A种纪念品，购进y件B种纪念品，根据“A种纪念品的数量不少于B种纪念品数量的6倍，且不超过B种纪念品数量的8倍”列出不等式组，并求出正整数解即可；（3）列出利润关于x或y的函数关系式，再根据一次函数的性质，并结合（2）中的方案就可以得出哪种方案获得最大利润.

解：（1）设该商店购进一件A种纪念品需要a元，购进一件B种纪念品需要b元．则10a＋5b＝1000，5a＋3b＝550.解得a＝50，b＝100.

购进一件A种纪念品需要50元，购进一件B种纪念品需要100元．

（2）设该商店购进x件A种纪念品，y件B种纪念品．由题意得

50x＋100y＝10000，①6y≤x≤8y.②

由①得x＝200－2y，将其代入②，得6y≤200－2y≤8y.

解得20≤y≤25．

y为正整数，y的值为20，21，22，23，24，25，共有6种进货方案．

（3）设总利润为w元．

w＝20x＋30y＝20（200－2y）＋30y

＝－10y＋4000（20≤y≤25）．

－10＜0，w随y的增大而减小．

当y＝20时，w有最大值．

w最大＝－10×20＋4000＝3800（元）．

当商店购进160件A种纪念品，20件B种纪念品时，可获得最大利润，最大利润是3800元．

二、招聘方案的最优化

例2 某汽车制造厂开发了一款新式电动汽车，计划一年生产安装240辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人；他们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装．生产开始后，调研部门发现：1名熟练工和2名新工人每月可安装8辆电动汽车；2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车．

（1）每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？

（2）如果工厂招聘n（0＜n＜10）名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？

（3）在（2）的条件下，工厂给安装电动汽车的每名熟练工每月发2000元的工资，给每名新工人每月发1200元的工资，那么工厂应招聘多少名新工人，使新工人的数量多于熟练工，同时工厂每月支出的工资总额w（元）尽可能的少？

分析：（1）找出题中的等量关系，列方程组解决问题；（2）设需熟练工m名，根据0＜n＜10，列出不等式，由不等式的解集确定出所有的招聘方案；（3）列出工资总额w（元）关于招聘新工人的人数n之间的一次函数关系式，根据一次函数性质可确定出最佳的招聘方案．

解：（1）设每名熟练工和新工人每月分别可以安装x、y辆电动汽车，根据题意，可列方程x＋2y＝8，2x＋3y＝14.解得x＝4，y＝2.

所以，每名熟练工每月可以安装4辆电动汽车，每名新工人每月可以安装2辆电动汽车．

（2）设需熟练工m名，依题意有2n×12＋4m×12＝240，n＝10－2m．

0＜n＜10，0＜10－2m＜10，

0＜m＜5，m的取值为1、2、3、4．

相应的n值分别是8、6、4、2．

故有四种招聘方案：①8名新工人，1名熟练工；②6名新工人，2名熟练工；③4名新工人，3名熟练工；④2名新工人，4名熟练工．