几何教学中的两点愚见

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在多年的几何教学中,我积累了较为丰富的教学经验,以下谈点体会｡

一､学生易犯以偏概全的错误

二､关于弦切角定理的教学

1.切割线定理

已知:如图4,PA切圆O于A,割线PBC交圆O于B､C.

求证:PA2=PB・PC.

证明:作直径AD,连结PD交圆O于E,

连接AE､BD､EC,则∠PAD=Rt,AEPD

PA2=PE・PD,又∠C=∠PDB,∠DPB=∠CPE

PDB∽PCE

PA2=PB・PC.

2.弦切角定理

已知:如图5,直线L切圆O于A.

求证:∠1=∠C

证明:延长CB(或BC)交L于P.

则PA2=PB .PC,

又∠2公用,因此PAC∽PBA,故∠1=∠C

如此安排教材,证明简单,学生易懂,省事省时,利于提高教学效果｡

三､定理的另证

教材中利用圆的旋转不变性给出圆心角定理的证明,不少同学难以理解,因而不能放心大胆地运用该定理解决有关问题｡下面给出易为同学们接受的其他证法｡

已知:如图6,圆心角∠AOB=∠A′O′B′,OM和O′M′是弦心距.

求证:(1)AB=A＇B＇,(2)OM=O＇M＇.

对于(1)和(2),同学们容易想到借助于全等三角形的对应边､对应高的相等来证明,这里仅证明(1).

证明: 连结AB′､A′B,作∠AOB′的平分线交圆O于C.

则∠AOC=∠B′OC,∠AOB=∠A′OB.

∠BOC=∠A′OC,而OB=OA′

OCA′B

同理OCAB′

A′B∥AB′

所以AB=A＇B＇

四､多用缺少型开放题以培养学生思维

缺少型开放题,按常规解法所给条件似乎不足,但如果换个角度去思考,便可得到解决｡

如:在一个面积为12平方厘米的正方形内剪一个最大的圆,所剪圆的面积是多少平方厘米?

按常规的思考方法:要求圆的面积,需先求出圆的半径｡根据题意,圆的半径就是正方形边长的一半｡根据题中所给条件,可以设所剪圆的半径为r, 那么正方形的边长为2r, 正方形的面积为2r×2r=4r2=12,r2=3,所以圆的面积是3.14×3=9.42(平方厘米)｡

还可以这样想:把原正方形平均分成4个小正方形, 每个小正方形的边长就是所剪圆的半径,设圆的半径 为r, 那么每个小正方形的面积为r2,原正方形的面积为4r2,r2=12÷4,所剪圆的面积是3.14×(12 ÷4)=9.42(平方厘米)｡

通过此类题的练习,有利于培养学生思维的灵活性,提高灵活解题的能力｡

解答开放型习题,由于没有现成的解题模式,解题时往往需要从多个不同角度进行思考和深索,且有些问 题的答案是不确定的,因而能激发学生丰富的想象力和强烈的好奇心,提高学生的学习兴趣,调动学生主动参 与的积极性｡

注:“本文中所涉及到的图表､注解､公式等内容请以PDF格式阅读原文｡”

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