无迹卡尔曼滤波的电池荷电状态估计试验研究
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摘 要：针对电动汽车用动力电池建立一种改进的Thevenin模型，对其进行模型的参数辨识，针对该模型提出一种基于无迹卡尔曼滤波（Unscented Kalman Filter，UKF）算法的荷电状态（State of Charge，SOC）估计算法。通过对非线性函数的概率密度进行近似，用一系定的采样来逼近状态的后验概率密度，避免了计算雅可比矩阵，而且减少了计算量。利用带遗忘因子的最小二乘法进行电池模型的参数辨识，通过联邦城市运行（Federal Urban Driving Schedule， FUDS）工况试验验证了UKF滤波算法在荷电状态估计的效果，将估计的SOC结果和试验测量结果进行比较，结果表明SOC估计精度在3%以内，证明UKF进行SOC估计的精度满足实际应用的要求。
关键词：锂离子电池；Thevenin模型；最小二乘；无迹卡尔曼滤波（UKF）；荷电状态（SOC）
中图分类号：U267文献标文献标识码：A文献标DOI：10.3969/j.issn.2095-1469.2013.05.03
精确的动态模型和荷电状态估计对电动汽车用动力电池的仿真、优化和能量管理有着重要的意义[1-2]。
常用的电池模型有电化学模型，等效电路模型和神经网络模型等，电化学模型无法模拟电池的极化效应和迟滞效应，因此实际应用较少，而且神经网络模型需要巨大的试验数据作为支撑，目前还处于理论分析阶段。等效电路模型可以很好地描述电池的外部特性，在实际应用中计算量适中，因此现阶段应用较为广泛。模型的精确度很大程度上由模型的参数精度决定，所以参数辨识的方法对于动力电池模型有至关重要的作用。传统的递推最小二乘法随着数据的增长，将出现所谓的“数据饱和”现象，即随着迭代次数的增加，误差方差和增益变得越来越小，从而对估计值的修正能力变得越来越弱，使新采集的输入数据对参数估计值的更新作用不大[3]。本文采用带遗忘因子的递推最小二乘法进行参数辨识，通过加强最新数据的权值，同时减小历史数据的影响，可以最大程度地消除“数据饱和”现象的发生。
扩展卡尔曼滤波算法非常依赖于系统的非线性程度，对于动力电池这样的强非线性系统，很可能得不到收敛的结果。无迹卡尔曼滤波以无迹变换（Unscented Transform，UT）为基础，采用标准卡尔曼滤波算法的框架。UT变换通过确定性采样，用多个粒子点逼近函数的概率密度分布，进而获得更高阶次的均值和方差。无迹卡尔曼滤波算法是利用概率密度分布来进行状态量估计，避免了雅可比矩阵计算，预测阶段只有标准的代数运算，因此可以提高系统的稳定性。
1 动力电池建模
1.1 电池等效电路模型
等效电路模型利用RC电路和电压源等电路元器件组成的电路网络模拟电池的动态特性，它可以很好地模拟电池外特性和极化特性等。常用的等效电路模型有内阻（Rint）模型，Thevenin模型和PGNV模型等，Rint模型由表示电池电势的电压源与其串联的内阻构成，其中电势是电池SOC的函数，内阻是温度、SOC以及循环寿命的函数。Thevenin模型在Rint模型的基础上串联一个并联的RC网络描述电池的动态特性（极化特性）。PNGV模型是在Thevenin模型的基础上再串联一个电容描述电池开路电压随着时间累计而产生的变化。针对不同的电池选用不同的电池模型，本文选用锰酸锂离子电池进行试验，Thevenin模型具有更高的精度和使用价值[4]。
常规的Thevenin模型，如图1（a）所示，只用一个RC网络来模拟电池的极化特性，但是电池极化包括电化学极化和浓差极化等，利用n个RC网络改进的Thevenin模型可以分别模拟不同的极化特征，考虑到计算的复杂程度和实际应用中的精度，选用2个RC网络的Thevenin模型，如图1（b）所示，分别模拟电化学极化和浓差极化这两种极化特性。
根据基尔霍夫电压、电流定律，以及电容电压变化与其电流的关系，改进的Thevenin模型的状态空间方程可用式（1）表示。
。
式中，Cpa、Cpb为极化电容；Rpa、Rpb为极化电阻； Ro为欧姆内阻；UL为电池的端电压；Uoc为电池的开路电压；Upa、Upc为极化电压；iL为充放电电流。
1.2 参数辨识
递推最小二乘法来进行参数辨识具有很高的精度和鲁棒性，递推最小二乘法的基本思想可以概述为新的估计值θ（k）=估计值θ（k-1）+修正项。
在电动汽车或者混合动力汽车运行过程中，动力电池模型参数如开路电压等是缓慢变化的。针对慢时变参数问题，常规的递推最小二乘法由于数据的不断迭代更新而出现的“数据饱和”现象，即随着k的增加，增益阵P（k）和K（k）变得越来越小，从而对θ（k）的修正能力变得越来越弱，使新采集的输入输出数据对参数估计值θ（k）的更新作用不大[3]。针对这种现象，采用带遗忘因子的递推最小二乘法进行参数辨识。
首先取性能指标J为
。
式中，λ为遗忘因子（0
。
在实际应用中，变量的采集和单片机中的分析计算都是离散的，进行电池模型参数辨识或者荷电状态估计必须对数学公式进行离散化的处理。利用双线性变换法对式（1）进行离散化，得出电池的端电压。
式中，b1、b2、b3、b4、b5是为描述电池特性而定义的相关参数，无实际物理意义；Uoc为电池的开路电压。
此处定义向量矩阵φk和待辨识的参数矩阵θk
。
参数满足 UL，k=φkθk，那么通过带遗忘因子的最小二乘法很容易得出待辨识的参数矩阵。图3是利用HPPC（Hybrid Pulse Power Characterization）试验在SOC等于0.6时的参数辨识结果，图3中最能直接反映辨识结果的Uoc的变化，若是其估计结果和OCV-SOC开路电压对应值相等或者接近，那么模型的估计结果是准确的。图3中可知除了有个别的几点，Uoc基本处于一个相对稳定的状态。为了验证在全SOC范围内的模型精度，利用联邦城市运行工况试验对它进行验证，通过模型估算的端电压和试验实时测量的端电压进行比较，通过误差分析模型的精度。
图4中（a）是端电压在整个SOC范围内的估计结果和实际测量结果，（b）是端电压的估计误差。从图中可知，端电压的估计误差基本维持在0.05 V以内，也就是最大的误差也在2%以内，这样的精度完全符合试验的要求，模型的精度达到了试验所需的要求。
2 基于UKF的SOC荷电状态估计
2.1 UKF估计过程
UKF算法也是一种递推的贝叶斯估计算法，是UT变换在KF的框架下实现状态量的估计，通常UKF的估计过程如下。
（1）状态量和误差量的初始化
（2）采样点x和权重值w的确定
（3）时间更新
状态时间更新
，
误差方差时间更新
。
输出量时间更新
，
（4）测量更新
状态估计更新
。
式中，yk 为真实测量值。
误差方差测量更新
。
2.2 电池荷电状态估计
电池荷电状态SOC描述了电池当前的放电能力，其定义如下。
，
式中，SOC0为荷电状态的初始值；IL为瞬时充放电流（这里定义放电为+，充电为-）；η为库电伦效率；Ca为电池的标称容量。由于电池的采样等均是离散条件下的结果，对状态量SOC进行离散化处理的形式。
。
按照2.1节无迹卡尔曼的递推方式，应用到荷电状态估计之中，进行SOC估计的流程框图如图5所示。改进的戴维南模型的状态量为3个维的，包括两个极化电压和荷电状态3个量，控制量为电流，按照时间进度依次进行迭代，最终仿真获得实时状态下的荷电状态估计值，然后与试验设备ARBIN所测得的电量值进行分析对比。
2.3 SOC估计结果
根据上面的辨识结果和步骤可得荷电状态SOC估计结果，如图6所示，图中分别表示的是SOC的估计值和试验设备的测量值，试验设备采用安时计量法。
由图可以看出，SOC的估计结果中SOC估计最大误差是0.02左右，估计的结果精度在3%以内，在整个SOC范围内都比较平稳，没有较大的波动，效果非常理想，完全满足电池管理管理系统的需求。
2.4 SOC估计结果的鲁棒性分析
SOC估计值的准确度取决于两个重要的条件，一是SOC值的初始值，二是计算的消耗的电量值。通常情况下SOC的初始值可以通过开路电压法确定得到，但是由于电动汽车较为复杂的工作条件，开路电压法要求电池得到足够长时间的静置，现实情况下无法实时满足这一条件。因此对于SOC估计结果的鲁棒性分析显得格外重要。这里设定一个与初始真值相差较大的SOC初值，检验一下UKF算法的收敛情况。如图7所示，初始的SOC值是0.5时的SOC估计鲁棒性测试，图中很明显看到，虽然初始误差非常大，但是SOC的估计值还是很快回归到了正常水平，并且误差维持在一个相当好的范围之内，所以无迹卡尔曼的鲁棒性也非常好。
3 结论
本文基于Thevenin模型建立了改进的Thevenin模型，来模拟电化学极化和浓差极化特性。通过带有遗忘因子的最小二乘法来进行参数辨识。由FUDS工况验证的结果分析可得，改进的Thevenin模型可以很好地模拟动力电池的外特性，同时带遗忘因子的最小二乘法参数辨识结果也非常精确。利用UKF方法进行SOC的估计，从仿真结果可以得出，基于UKF算法的SOC估计可以取得较好的效果，误差范围在3%，满足实际需要的精度要求，而且计算量相较于扩展卡尔曼无需计算雅可比矩阵，为下一步在单片机系统条件下实现荷电状态的估计打好了基础，尤其是在实时性要求的条件下（比如峰值功率的计算），具有较高的实用价值。
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