竖向荷载下长径比对单桩竖向承载力的影响
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【摘要】本文采用规范推荐公式和有限元软件对北京CBD地区拟建高大建筑桩基础的单桩竖向承载力及沉降进行了分析，得到了长径比与单桩竖向承载力关系曲线及计算公式；长径比与单桩沉降关系曲线；埋深与桩侧摩阻力和轴力的关系曲线，对桩基础设计具有一定的参考价值。
【关键词】竖向荷载；单桩承载力计算；侧阻力。
Bearing capacity effects length diameter ratio of the single pile under vertical load
SUN Yue1，ZHANG Huai-jing1，SUN Hong-wei2
Beijing University of Civil Engineering and Architecture，Beijing，100044，China）
Beijing Institute of Architectural Design，Beijing，100045，China）
【Abstract】In this paper, the pile foundation single pile bearing capacity of the proposed construction in Beijing CBD area of was calculated. Computing means using a code recommended specification and finite element numerical simulation software. According to software engineering experience selected calculation parameters, draw pile Q-s curve and friction curve under different length diameter ratio. By calculating the comparative analysis of the results and the curve presents the aspect ratio and the relationship between lateral friction theoretical formulation.It made a certain reference value for pile designing.
【Keywords】 Vertical load；Calculation of capacity of single pile；Side friction
中图分类号： TU473 文献标识码： A
0 引 言
近年来我国超高层建筑的建造发展十分迅猛。如何在建造高层和超高层建筑时趋利避害，是一个涉及经济、社会、环境、规划，技术等问题的系统工程[[[]张在明． 北京地区高层和大型公用建筑的地基基础问题［J］． 岩土工程学报，2005，27( 1) : 11-23．]]。超高层建筑基础工程造价一般占土建工程总造价的 25% ～ 40%，施工工期占总工期的三分之一左右[[[] 胡玉银． 超高层建筑的基础与结构（一）［J］．建筑施工，2007，29( 2) : 146-148．]]。由于我国幅员辽阔，地质构造不一，基础施工难度较大，技术含量较高，所以在超高层建筑施工中，基础工程已经成为影响建筑施工总工期和总造价的重要因素之一[[[] 孙宏伟，沈莉，方云飞，吕素琴. 天津滨海新区于家堡超长桩载荷试验数据分析与桩筏沉降计算
[J].建筑结构，2011（4）1253-1255．]]。
对于绝大部分高层建筑所采用的摩擦型桩基础，其承载力大多取决于桩侧摩阻力，通常改变桩径（即改变桩横截面积）对与提高竖向承载力的效果不是十分明显，而增加桩长又影响到工程的工期与造价。本文通过数值分析探讨桩的长径比与单桩竖向承载力和沉降的关系，为工程设计优化提供依据。
1 单桩的荷载传递
桩基的承载力的核心是荷载的传递，从广义上说，指的是桩基在外荷载作用下桩-土系统的各个部分的反应的总体表现，它包括荷载的分配、传递方式、地基土和桩身以及桩端共同承担外荷载的相互关系、构成桩-土承载力的各个分量的形成、发挥过程和分布规律[[[] 刘金砺．桩基础设计与计算[M].北京:中国建筑工业出版社，1990．]]。研究桩基础的承载力首先需要了解桩-土之间是如何相互作用，以及单桩是如何达到承载力极限状态的。
在单桩的桩顶竖向加载过程中，桩身上部产生压缩，相对周围土体产生了向下的位移，由于相对位移，桩侧表面受到土传递的向上的摩阻力。随着荷载的增加，桩身压缩和位移逐步增大，桩侧的摩阻力由桩身上部向桩底逐渐发挥作用；同时，桩底持力层受压引起桩端反力，导致桩端下沉、桩身随之整体下降，这一过程加大了桩身各处截面的位移，引发桩侧上下各处摩阻力的进一步发挥。当沿桩身全长的摩阻力都达到极限值之后，桩顶荷载增量就全部由桩端阻力承担，当持力层破坏，此时桩顶承受的荷载就是桩的极限承载力。
单桩荷载的传递过程及分析方法如图1- 1。在桩身任意深度处取一微分桩段，由平衡条件可得：
(1. 1)
图1- 1桩-土体系的荷载传递[[[] 东南大学，浙江大学，湖南大学，苏州科技学院合编.土力学（第二版）[M].北京：中国建筑工业出版社.2005]]
(a)微桩段的作用力；(b)轴向受压的单桩；
(c)截面位移曲线；(d)摩阻力分布曲线；
(e)轴力分布曲线
即：
(1. 2
)
式中 —— 深度z处的桩侧阻力；
—— 桩身周长；
—— 深度z处的桩身轴力。
目前多通过桩身埋设应力或位移测试元件(钢筋应力计、应变片、应变杆等)求得轴力和侧阻沿桩身的变化曲线。
若施加在桩顶的荷载为，则深度z处的桩轴力为：
(1. 3)
桩微分段产生的弹性变形为δ(z)为：
(1. 4)
即：
(1. 5)
E、A——桩的弹性模量及截面面积。
将式(1. 5)代入式(1. 6)，可得：
(1. 6)
式(1. 6)即为桩-土体系荷载传递的基本微分方程，可用以进行荷载传递的分析和计算，其求解取决于荷载传递函数的形式。它表明了桩侧摩阻力τ(z)是桩截面对桩周土的相对位移δ的函数，其大小制约着土对桩侧表面的向上作用的正摩阻力τ的发挥程度。
2 桩的长径比与单桩竖向承载力的关系
在满足地基承载力的情况下，通过调整长径比达到最优的工程量，从而在一定程度上节约工程造价。为研究长径比与单桩承载力的关系，结合北京某工程钻孔的地勘资料，根据现行规范，分别计算桩长为20m，桩径为800mm、1000mm、1200mm及桩长为30m，桩径为300mm、500mm、1000mm桩在不同长径比条件下的单桩竖向承载力。持力层为粉质粘土层，计算结果如表2-1所示。
表2- 1 地层岩性及土的物理力学性质综合统计表
单桩竖向极限承载力标准值按式2-1计算：
(2- 1)
式中 —— 桩身周长(m)；
—— 桩穿越第i层土的厚度（m）；
—— 桩端面积（m2）；
—— 桩侧第i层土的极限侧阻力标准值(kPa)，根据勘察报告取值；
—— 极限端阻力标准值(kPa)，根据《建筑桩基技术规范》[[[] 中华人民共和国住房和城乡建设部.JGJ94-2008《建筑桩基技术规范》[S].北京:中国建筑工业出版社，2008]]JGJ94-2008 表5.3.5-2取值；
—— 大直径桩侧阻力尺寸效应系数：黏性土、粉土：(0.8/d)1/5；砂土、碎石土：(0.8/d)1/3；
—— 大直径桩端阻力尺寸效应系数：黏性土、粉土：(0.8/D)1/4；砂土、碎石土：(0.8/D)1/3。
设单位体积桩的竖向承载力为F，则F可根据下式进行计算：
(2- 2)
式中： —— 单位体积桩的竖向承载力（kN/m3）；
—— 桩的体积（m3）。
表2- 2 单桩承载力计算结果
从表2- 2可以看出，桩长30m比桩长20m的桩单位体积桩的承载力要高、混凝土用量小；桩长相同时，随着长径比的增大单位体积桩的承载力增大。当桩长为30m、长径比为100时单位体积桩的承载力最大、混凝土用量最小，因此从减少混凝土工程量角度来看，长桩优于短桩、长径比大的优于长径比小的桩。
根据计算结果，绘制了桩长20m、30m时，不同长径比与单桩竖向承载力的关系曲线，如图2-1所示。通过曲线可以看出，长径比相同时，长桩比短桩的单桩承载力高，由此可见摩擦型桩通过增加桩长提高承载力效果更显著；桩长相同时，随着长径比的增大，单桩的竖向承载力呈明显的非线性减小趋势。出现这种现象的原因是随着桩直径的变化引起单桩竖向荷载的传递模式发生变化，桩端面积的减小是几何级数形式。桩过于细长造成对持力层利用不充分。而在不同桩径下同一长径比时，随着桩长的增加，竖向承载力的增加也是显著的，这表明长桩呈现出摩擦型性状。
图2- 1长径比与单桩竖向承载力关系曲线
为了寻求长径比与承载力的数值关系，根据Matlab数学计算软件进行多项式拟合，可以考虑按二次多项式或三次多项式进行：
二次多项式： (2- 3)
三次多项式：
(2- 4)
拟合结果符合度R2随着多项式次数n的增加不断趋近于1，但考虑到次数越高相应需要控制的参数也越多，不利于把握规律，所以采用拟合的二次多项式：
(2- 5)
式中 —— 桩身总长度(m)；
—— 桩截面直径（m）；
—— 桩竖向承载力特征值（kN）。
拟合曲线的符合度R2=0.964，满足精度要求。
同时，作为对照，进行幂级数拟合，，R2=0.9979。可见，幂级数拟合只需要2个参数，且精度比二次多项式更高，可以作为多项式拟合的补充[[[] 张志涌．精通MATLAB 6.5版教程[M]．北京:北京航空航天大学出版社，2003．]]。
3 单桩数值模拟分析
本文采用Plaxis 3D Foundation对不同长径比的单桩进行了数值模拟计算，分别对不同长径比的SZ1、SZ2、SZ3，SZ4、SZ5、SZ6桩分别施加500kN、1000kN、2000kN、3000kN、4000kN五级荷载，从而得到了长径比与单桩沉降、长径比与单桩侧阻力、长径比与单桩轴力之间的关系曲线，为工程设计提供了相应依据。
数值分析对土体采用摩尔-库仑本构模型，对桩采用Embedded Pile模型，计算参数按表3-1选取与有限元模型如图3- 1所示。
图3- 1 有限元模型
表3- 1 模型计算参数
(1)长径比与单桩沉降之间的的关系
通过计算，可以得到在不同荷载作用下桩的沉降大小，两者之间的关系曲线如图3-2所示。
图3- 2 长径比、荷载与单桩沉降关系曲线
从图3- 2可以看出，试桩的Q-s曲线均表现出缓变的特点，随着荷载的增加，单桩的沉降增大；荷载相同时，桩长30m比桩长20m的单桩沉降小；桩长相同时，随着长径比的增大单桩沉降增大。本工程中桩长30m长径比为30的SZ6桩，其沉降数值最小，桩长30m长径比100的SZ4桩，其沉降数值最大，当荷载达到2000kN时，SZ4桩的沉降已达到12.5mm，超过10mm限值要求。由此可见，从沉降控制角度考虑，应优先选择桩长较大、长径比较小的桩。
(2)长径比与单桩侧阻力及轴力之间的关系
通过计算得到了在不同荷载作用下，不同长径比的单桩侧阻力随埋深的变化曲线，如图3-2所示。得到了在不同荷载作用下，单桩侧阻力、单桩轴力与埋深的关系曲线，分别如图3-3、3-4所示。
'
(a)500kN
(b)1000kN
(c)2000kN
(d)3000kN
(e)4000kN
图3- 3 长径比、埋深与桩侧阻力关系曲线
图3- 4 荷载、埋深与桩侧阻力关系曲线
图3- 5 荷载、埋深与单桩轴力关系曲线
从图3- 2可以得到侧阻力的分布规律：在一定深度范围内，桩侧阻力随埋深的增加而增大，最大值发生在埋深2m~6m的范围内，此范围内土层为卵石及圆砾，具有较大的侧阻力，当侧阻力达到最大值后，随着埋深的增加侧阻力随之减小，20m长的桩其最小值发生在埋深18m左右、30m长的桩其最小值发生在28m左右，此范围的土层为粉质粘土，具有较小的侧阻力，当侧阻力达到最小值后，随着埋深的增加侧阻力缓慢增大。从图3-2可以看出，桩长相同时，长径比越大其侧阻力越大，其承载力主要通过桩身的侧阻力的发挥来实现，随着长径比的减小，桩的端阻力发挥程度增大，而桩的侧摩阻力所占的比例有所减小。
从图3- 3可以看出，单桩侧阻力随荷载的增大而增大。从图3- 4可以看出，单桩轴力随荷载的增大而增大、随埋深的增大而减小，在桩底轴力接近零。对于摩擦型桩，随着施加于桩顶荷载的增大，桩端位移不断增大，桩侧阻力得到不断发挥；随着桩埋深的增加，桩侧摩阻力增大，桩身轴力则不断减小，直至达到规定的承载力，此时桩端阻力在数值上等于桩身的轴力。
4 结语与建议
本文通过对一组工程桩的承载力计算得到了长径比与单桩竖向承载力关系曲线，为了寻求长径比与承载力的数值关系，采用Matlab数学计算软件进行多项式与幂级数拟合，拟合结果能够满足工程计算的精度要求。通过数值模拟分析，得到了在不同荷载作用下桩的长径比与单桩沉降关系曲线、埋深与桩侧摩阻力关系曲线、埋深与轴力关系曲线，为工程设计提供依据。
数值模拟是工程实践中进行分析的重要手段之一，但需要通过加强对现场试验测试数据的分析，并结合工程经验对数值模拟的结果进行分析以指导工程实践。本文采取多项式与幂级数拟合的方式寻求长径比与单桩竖向承载力特征值之间的关系，通过拟合取得了比较满意的效果，对于曲线拟合的可靠度，在未来的工作中，需要进一步探索。
参考文献
[1]张在明． 北京地区高层和大型公用建筑的地基基础问题［J］． 岩土工程学报，2005，27( 1) : 11-23．
[2] 胡玉银． 超高层建筑的基础与结构（一）［J］．建筑施工，2007，29( 2) : 146-148．
[3] 孙宏伟，沈莉，方云飞，吕素琴. 天津滨海新区于家堡超长桩载荷试验数据分析与桩筏沉降计算
[J].建筑结构，2011（4）1253-1255．
[5] 刘金砺．桩基础设计与计算[M].北京:中国建筑工业出版社，1990．
[6] 东南大学，浙江大学，湖南大学，苏州科技学院合编.土力学（第二版）[M].北京：中国建筑工业出版社.2005
[7] 中华人民共和国住房和城乡建设部.JGJ94-2008《建筑桩基技术规范》[S].北京:中国建筑工业出版社，2008
[8] 张志涌．精通MATLAB 6.5版教程[M]．北京:北京航空航天大学出版社，2003．