圆的知识中考考点解析
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圆的知识在初中几何中有着极其重要的地位.其中圆的对称性的运用、切线的性质及判定以及圆的综合应用是中考考查的重点.下面就2009年部分省市中考数学试卷中对圆的考查方式、分值比例等作出相关统计:
下面就圆的相关考点与解决方法进行解析,希望给同学们带来帮助.
考点一垂径定理及推论
例1 (2009年龙岩考题)如图1,AB、CD是半径为5的O的两条弦,AB=8,CD=6,MN是直径,ABMN于点E,CDMN于点F,点P为EF上的任意一点,则PA+PC的最小值为_____________.
解析:本题考查轴对称及圆的有关知识,由垂径定理知,MN垂直平分AB,连接PB、BC.所以AP=BP即PA+PC的最小值为BC.
ABMN于点E,CDMN于点F,MN为O的直径,
MN垂直平分AB、CD,
AE=BE=4,CF=FD=3.
O的半径为5,
OE=3,OF=4,
EF=7.
过点C作CGAB于G.
AEMN,CFMN,
四边形AEFC为矩形即CG=FE=7.
过点D作DHAB于H ,同理四边形DHEF为矩形.
GH=GE+EH=CF+FD=CD=6,
AG+BH=AB-CD=2,
AG=BH=1,
BG=AB-AG=7,
在RtCBG中,BC==7.
点拨:解本题关键是将PA+PC的长转化成CB的长.
考点二弧、弦、圆心角的关系
例2 (2009年成都考题)如图2,ABC内接于O,AB=BC,∠ABC=120°,AD为O的直径,AD=6,那么BD=_________.
解析:本题考查等腰三角形的性质,圆周角与圆心角的关系,圆周角定理的推论及三角函数等知识.
AB=BC,∠ABC=120°,
∠ACB=30°,
∠ADB=∠ACB=30°,
AD为O的直径,
∠ABD=90°,
BD=AD•cos30°=6×=3 .
点拨:解决此类问题的关键是运用圆周角定理求角,然后根据锐角三角函数来求解.
考点三切线的性质与判定
例3 (2009年莆田考题)如图3,BC是以线段AB为直径的O的切线,AC交O于点D,过点D作弦DEAB垂足为点F,连接BD、BE .
(1)仔细观察图形并写出4个不同的正确结论:①__________,②___________ ,③__________,
④____________(不填加其他字母和辅助线,不必证明);
(2)∠A=30°, CD= ,求O的半径r.
解析:(1)BCAB,ADBD,DF=EF,BD=BE,BDF≌BEF,BDF∽BAD,∠BDF=∠BEF,∠A=∠E,DE∥BC等.
(2)AB是O的直径 ,
∠ADB=90°.
∠A=30°,
BD=AB=r,
又BC是O的切线,
∠CBA=90°,
∠C=60°.
在RtBCD中,CD=,
==tan60°,
r =2.
点拨:这是一道探究型试题,不仅考查了垂径定理、圆周角定理和圆的切线的性质等相关知识,更重要的是考查了综合应用这些知识的能力,这类试题将是中考命题的导向.
考点四点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系
例4 (2009年宁波考题)如图4,A、B的圆心A、B在直线l上,两圆的半径都为1cm,开始时圆心距AB=4cm,现A、B同时沿直线l以每秒2cm的速度相向移动,则当两圆相切时, A运动的时间为__________秒.
解析:判断圆与圆的位置关系常通过数量关系来判断,利用两圆的半径的和、差与圆心距进行比较,要注意相切包括内切和外切,本题的答案是 或.
点拨:本题考查了在运动中研究圆与圆的特殊关系,这是中考的热点问题.
考点五圆的计算问题
例5 (2009年绵阳考题)如图5,ABC是直角边长为a的等腰直角三角形,直角边AB是半圆O1的直径,半圆O2过C点且与半圆O1相切,则图中阴影部分的面积是().
A.a2 B.a2
C.a2D.a2
解析: 阴影部分面积可转化为如图6所示的图形的面积,由勾股定理可得半圆O2的半径r =,所以阴影部分的面积为直角三角形的面积减去两个小等腰直角三角形的面积,即a2-a2-a2=a2,故选D.
点拨:求此类不规则阴影图形的面积往往要进行拼接,关键是把不规则的图形面积转化为规则图形面积的和或差.
考点六圆的综合应用
例6 (2009年宜昌考题)如图7,把矩形纸片ABCD折叠,使得顶点A与边DC上的动点P重合(P不与点D,C重合),MN为折痕,点M,N分别在边BC,AD上,连接AP,MP,AM, AP与MN相交于点F.O过点M,C,P.
(1)请你在图7中作出O(不写作法,保留作图痕迹);
(2)与 是否相等?请你说明理由;
(3)随着点P的运动,若O与AM相切于点M时,O又与AD相切于点H.设AB为4,请你通过计算,画出这时的图形.
解析:(1)如图8;
(2)与 不相等.
假设=,则由相似三角形的性质得MN∥DC.
∠D=90°,DCAD,MNAD.
据题意得,点A与点P关于MN对称,
MNAP.
据题意,P与D不重合,
这与“过一点(A)只能作一条直线与已知直线(MN)垂直”相矛盾.
假设不成立.即与 不相等.
(3)AM是O的切线,∠AMP=90°,
∠CMP+∠AMB=90°.
∠BAM+∠AMB=90°,
∠CMP=∠BAM.
MN垂直平分AP,MA=MP,
∠B=∠C=90°, ABM≌MCP.
MC=AB=4.
设PD=x,则CP=4-x,
BM=PC=4-x.
连结HO并延长交BC于J.
AD是O的切线,∠JHD=90°.
四边形HDCJ是矩形.
OJ∥CP, MOJ∽MPC,
==,
OJ=(4-x),OH=MP=4-OJ=(4+x).
MC 2=MP 2-CP 2,
(4+x)2-(4-x)2=16.
解得x=1.即PD=1,PC=3,
BC=BM+MC=PC+AB=3+4=7.
据此画出图形.
点拨:本题涉及三角形的全等与相似、矩形与轴对称的性质、圆的有关性质等知识,是一道综合题,解决此类题的关键是逐步分析,明确每一步所要求的是什么.