用3D几何画板探究球内接正棱柱

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球的内接正棱柱体积最大时，对应的高具有怎样的性质？解答该问题需要有较强的空间想象能力和平面与空间图形的转化能力，综合运用几何、代数的知识去解决。传统的教学工具很难支持探究这一问题，另外用Flash、Authorware等软件设计课件来辅助教学，存在缺乏数学味、效率不高等不足。基于数学原理和数学学习过程，本文尝试用几何画板设计课件，辅助解答该问题，以弥补以往之缺失。

一、基本原理与设想

半径为R的球的内接正n棱柱的体积V与棱柱的高h具有的V=■·sin■·h·n函数关系。通过课件设计，动态展示V与h、n的关系，视觉化V与h、n的数形关系，发现变中不变的规律：内接正n棱柱的体积V最大时，高h具有唯一性，且与n无关。

二、课件制作步骤

1.构造球的大圆

在正交视图上，构造圆center''，利用【3d基本功】|【正交视图定点】，在圆center''上确定一点A，选中点A和三维坐标系中的点A，构造【轨迹】。

2.构造球面

（1）在正交视图的yoz平面做与圆center''等大小的圆center''；

（2）在正交视图中构造圆center''与y轴的两个交点B、C及线段BC，在线段BC上确定一点D，过点D构造垂直于y轴的直线交yoz平面内的圆center''于点E、F，利用【正交视图定点】构造空间点E、F，选中点D和空间点E，构造轨迹1，同理构造空间点F的轨迹2；

（3）选中红色扇形滑竿的端点和轨迹1，【构造】|【曲线族】，构造出上球面，同理构造下球面。

3.构造球内接正n棱柱

（1）构造棱柱底面外接圆。在正交视图中，构造以点center''为圆心，过点D的圆1，利用【正交视图定点】，在圆1上构造点G，垂直距离分别为点E和点F的位置，构造出点G在三维坐标系中的对应点G'、G''，选中正交视图中的点G和空间中的点G'，构造【轨迹】；同理构造球内过点G''的小圆。

（2）新建参数n,计算360°/n，n-1。n为底面的边数。

（3）构造底面及侧面。在圆1上，标记点center''为中心，将点G旋转360°/n到点H。利用【正交视图定点】构造点H在三维坐标系中关于大圆center''的对称点H'和H''；在三维坐标系中，依次选中G'、G''、H''、H'四点，单击【构造】|【线段】。在正交视图中，连接点G、H，选中点G和参数n-1，执行深度迭代功能，在迭代对话框中选取初像点H。

4.构造正n棱柱体积关于高的函数图像

（1）确定球半径和内接正n棱柱底面外接圆半径数值。在正交视图中度量点center''与点B的距离为球的半径R；构造线段center''D，在该线段上取点I，度量点center''与点I的距离为底面外接圆半径r。注：只有点I、D重合，所度量的距离才等于底面外接圆半径。后续步骤将置其重合。

（2）计算正n棱柱的高h=

2■和体积V=■·sin■·h·n；

（3）以h和V分别为横纵坐标，绘制点J（h，V）。作点J至横、纵轴的垂线段。选中点I、J，【构造】|【轨迹】，得函数图像。将I拖至与D重合，隐藏I。

5.构造控制点，制作按钮

计算■R/3。在正交视图中以点center''为圆心，■R/3为半径作圆交线段center''B于点M；作按钮“移动DM”，并改其标签为“验证”。

6.完善图形，美化界面

隐藏无关，设置线形、颜色。

三、课件的应用思考

点击“水平旋转”等按钮，可旋转棱柱或从不同角度观察球内接棱柱的立体视觉效果图，弥补学生空间想象力和抽象思维能力的不足。左右拖动点D，可改变内接正n棱柱底面外接圆半径的大小，高h也随之变化。课件逐渐显示V关于h的函数图像的生成过程，至点D与点B重合，完整显示h∈（0，2R），V关于h的函数图像，利于学生感受和体验知识的发生、形成过程。如图1所示，一方面，给定n值，拖动点D，观察、分析棱柱的形状变化，V与h的函数关系图像变化，发现V最大时，h值只有一个；另一方面，改变n值，拖动点D，比较发现：V的最大值改变，但h值不变。这些性质，也可点击“验证”按钮后，输入不同n值后进行快速验证。