多个变量求取值范围问题的解法归类探究

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高三复习过程中各级各类数学试题中，有一类问题涉及多个变量相互限制，求代数式或字母的取值范围，逐渐成为高考的热点和难点.这类问题学生经常做错，并不一定是题目本身十分的复杂，而是变量太多，学生无从下手，或者是变量都在变化，有时相互制约，相互影响，学生考虑不够周全导致一些细节处理不到位，最后范围求错.而教材上并没有明确系统地研究这类问题.笔者通过下面几道例题的分析来归纳这类问题的求解方法.

1.确保每个变量都满足条件

适用范围：求取值范围问题中涉及多个变量，在消元后先确定定义域，再求取值范围.

例1（2012届扬州三模第8题）若x≥0,y≥0，且x+2y=1，那么x2+y2的取值范围为.

解析消元，由题意得x=1-2y,代入x2+y2，

得x2+y2=(1-2y)2+y2=5y2-4y+1=5(y-

25)2+15.设g(y)=5(y-25)2+15,问题转变成二次函数求值域问题，想到要考虑定义域.

错解只观察到题目中的y≥0这个条件，得出当y=25时，g(y)min=g(25)=15;

当y+∞时，g(y)+∞,所以x2+y2∈［15,+∞).

正解x≥0,

y≥0,即1-2y≥0,

y≥0,得出0≤y≤12.得出g(y)min=g(25)=15,g(y)max=g(0)=1.

分析对于多个变量求定义域一类问题，大部分同学都能够想到首先消元然后通过限元求定义域，问题就处在限元的时候，对多个元素之间的相互限制考虑不清，限元不充分，导致出错.所以我们在处理这类问题时要保证每个变量都满足条件，这样才能减少出错的机会.

2.整体化思想

对于多个变量求范围问题，还可以把几个变量合起来看作一个整体，通过换元达到减少未知量的目的，从而实现化繁为简.

例2若对满足条件3x+3y+8=2xy(x>0,y>0)的任意x,y,（x+y)2-a(x+y)+16≥0恒成立，则实数a的取值范围是.

解析把x+y看出一个整体，设t=x+y，分离变量得到a≤(x+y)+16(x+y),即a≤t+16t.问题转化为求函数［t+16t］min.对3x+3y+8=2xy，利用基本不等式得出x+y≥8或者x+y≤-2(舍），即t≥8.再根据对勾函数的图象得到g(t)=t+16t在［8,+∞)上单调递增，所以(t+16t)min=10，所以a≤10.

3.确定主元和次元

也就是多个变量求取值范围问题，在化简过程中，每次只把一个字母视为变量，固定其他变量，即把其他变量先看成常数，化多元函数为一元函数问题，从而实现把陌生问题转化为已知问题.

例3已知x∈［1,3］,x2+2x-siny-a≤0恒成立，则a的取值范围为.

解析第一步把y看成变量，x和a都先看成常数，分离变量得x2+2x-a≤siny.因为siny∈［-1,1］，所以x2+2x-a≤-1.

再分离变量，得x2+2x+1≤a，因为(x+1)2∈［4,16］,所以a≥16.

分析恒成立问题在经过练习后学生已经有一点分离变量求最值的思路，但是本题中学生看到题目中有三个变量，直接慌了，不知道怎么处理.其实这个题目非常简单，就是两次分离变量求最值.主要就是弄清把谁看成自变量，谁看成常数的问题.对于几个变量地位相等的情况，可以任意确定谁是主元谁是次元.

例4已知函数f(x)=2x2-38x-c,g(x)=2x3+

4x2-40x.

对任意x1∈［-3,3］，存在x2∈［-3,3］，使f(x1)≤g(x2)成立，求实数c的取值范围.

解析先把x2固定，只把x1看成变量，问题转变为任意

x1∈［-3,3］,f(x1)max≤g(x2).f(x)=2x2-38x-c在［-3,3］上单调递减，所以f(x1)max=f(-3)=132-c,问题转变成：存在x2∈［-3,3］使132-c≤g(x2),即132-c≤g(x2)max.又g′(x)=2(x-2)(3x+10)，所以g(x)在［-3,2］递减，在［2,3］递增，所以g(x2)max=g(-3)=102.代入得132-c≤102,所以c≥30.

面对目前学生在学习过程中的堆积成山的试卷，书店里成千上万的补习资料，甚至学校外铺天盖地的辅导班，笔者认为数学的学习应该在问题的归类即知识点的总结上下功夫，而不应该演变成一种题海战.多变量问题的复杂性需要我们充分理解变量之间的相互关系，随题应变，以多角度，多途径的方法去尝试求解.让我们一起在总结归纳上多做文章，引导学生早些脱离苦海吧！