用旋转变换解题

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将一个图形旋转，图形上的每一个点都绕着中心沿着相同的方向转动了相同的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线所组成的角度都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等；旋转前后的两个图形是全等形，对应边、对应角都相等。这些性质给解题创造了有利的条件。

一、利用旋转的基本性质解题

例1如图1，在RtABC中，∠BAC=90°，将ABP绕着A点逆时针旋转后，能与ACD重合，如果AP=3，求PD的长度。

解析可以利用旋转的基本性质，找出各组线段之间的长度关系，是解题的关键。

解因为ABP绕着A点逆时针旋转后，能与ACD重合，所以AP=AD，AB=AC，BP=CD，∠BAP=∠DAC，所以∠BAC=∠PAD=90°，PAD是等腰直角三角形，由勾股定理得，PD= AP=3 。

二、利用旋转整合图形解题

在解决平面几何有关问题时，常常将某个图形旋转一定的角度，通过这种图形的旋转对图形进行割补，把不规则图形整合为规则图形，使问题的条件由分散而变成相对集中，从而顺利解决问题。

例2如图2，在正方形ABCD中，P、Q分别是BC、CD上的点，∠PAQ=45°，试说明BP＋DQ=PQ。

解析如图3将ADQ绕A点顺时针旋转90°到AEB，由旋转的基本性质：∠EAB=∠QAD，BE=DQ，∠EAQ=∠BAD=90°，所以，∠EAP=∠PAQ，由于AD=AB，∠EBA=∠D=90°，所以E、B、P三点在一条直线上，连接PQ，在EAP和PAQ中，EA=AQ，AP=AP，∠EAP=∠PAQ，所以EAP≌PAQ，所以，PQ=PE，PE=BP＋EB，所以BP＋DQ=PQ。

例3（2006年山东青岛市）如图4，P是正三角形 ABC 内的一点，且PA＝6，PB＝8，PC＝10。若将PAC绕点A逆时针旋转后，得到P'AB ，则点P与点P' 之间的距离为_______，∠APB＝______°。

解析按题目要求旋转后，∠CAP=∠BAP'，所以∠BAC=∠PAP'=60°，PA=AP'，若连接P P'，则PAP'是等边三角形，PP'=AP=6，PC=P'B=10，PB=8,由勾股定理的逆定理得，PBP'是直角三角形，所以∠APB＝150°。

三、旋转变换与作图

利用旋转的基本性质作图，是中考中出现频率较高的题形，其关键还是抓住旋转过程中的不变量。

例4（2006年黑龙江伊春市）如图5，在网格中有一个四边形图案。

(1)请你画出此图案绕点D顺时针方向旋转90°，180°，270°的图案，你会得到一个美丽的图案，千万不要将阴影位置涂错；

(2)若网格中每个小正方形的边长为1，旋转后点A的对应点依次为A1、A2、A3，求四边形AA1A2A3的面积；

(3)这个美丽图案能够说明一个著名结论的正确性，请写出这个结论。

解(1)如图6所示。

(2)如图，S四边形AA1A2A3 =S四边形AB1B2B3-4S#BAA3

=(3+5)2-4× ×3×5=34

故四边形AA1A2A3的面积为34。

(3)结论：AB2+BC2=AC2或勾股定理的文字叙述。

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”