一对相等关系量的基本图形及其应用

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两个三角形全等的判定方法共有四种（角边角、角角边、边角边、边边边）.这四种方法各有三个条件，这三个条件，有的题目中直接已知；有的题目中部分已知，个别条件隐含在图形中.对于隐含的条件，有的同学往往不会寻找，缺乏对隐含量所在的基本图形的深刻认识.为了帮助同学们突破这一思维障碍，本文就一对隐含关系量（同角的两个余角）相等的基本图形及其应用谈谈体会，希望能起到抛砖引玉的作用.

以上三个图形是“同角的两个余角相等”的基本图形（即图1， DBBE、ABBC，有∠1 = ∠2；图2，ABBC、BCAC于D，有∠1 = ∠C，∠2 = ∠A；图3，BDAC于D，CEAB于E，有 ∠B = ∠C）.它们潜伏在复杂的图形中，往往是证题的关键.

例1如图4，已知：AE = CE，BE = DE，AEEC，DEBE.求证：AB = CD.

解析：要证AB = CD只需证AEB≌CED. 已知条件只有AE = CE，BE = DE，所以还差条件∠AEB =∠CED.这个条件隐藏在AEEC，DEEB的图形中，根据基本图形1，得 ∠AEB = ∠CED.

例2 如图5，已知：RtABC中， ∠ACB = 90O，AC = BC，ADCD于D，BFCD于F，求证：DF = CDAD.

解析：求证DF= CDAD，由于DF = CDCF，所以问题转化为求证AD = CF.AD、CF分别是ADC、CFB的边，此时只需证ADC≌CFB即可，而已知条件只有AC = BC，∠ADC = ∠CFB=90O，所以两个三角形全等条件还差∠1=∠3（或∠2=∠DAC）.这个条件隐藏在AC CB，BFCD的图形中，根据基本图形2，可得∠1=∠3.

例3 如图6，已知在锐角ABC中，BD、CE是ABC的高，且点P在BD的延长线上，BP = AC，点Q在CE上 ，CQ = AB.

求证：APAQ.

解析：要证APAQ，只需证∠1 +∠2 = 90O即可，而∠P +∠1 = 90O，所以又只需∠2 =∠P即可. ∠P、∠2分别是ABP、QCA的角.于是问题转化为证：ABP≌QCA，此时已知条件只有BP = AC，CQ = AB，还差条件∠3 =∠4，这一条件隐藏在BD、CE是ABC两条高的图形中，根据基本图形3，则∠3 +∠CAE = 90O，∠4 +∠CAE = 90O，即∠3 = ∠4.

从上面三个例题可以看出：“同角的两个余角相等”的基本图形隐含在要证明的几何图形中，隐藏得越深寻找的难度就越大.要想突破这一难点，还要不断加强训练，下面提供一题，供同学们练习.

在ABC中，∠ACB = 90O，AC = BC，直线MN经过点C，且ADMN于D，BEMN于E.

（1）当直线MN绕点C旋转到图7的位置时，则DE = AD + BE.

（2）当直线MN绕点C旋转到图8的位置时，则DE = ADBE.

（3）当直线MN绕点C旋转到图9的位置时，DE、AD、BE三条线有什么关系？请证明你的结论.

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”