解不等式易错归类浅析

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【摘要】在教学当中，通过对学生的考查，发现在解不等式、利用基本不等式求最值时易出现错误，现整理归类分析

【关键词】不等式性质，解不等式，等价变形，基本不等式，等号成立条件

《普通高中数学课程标准》把不等式作为刻画现实世界中不等关系的教学工具，刻画不等关系的一种数学模型，而不是从数学到数学的纯理论探讨。笔者在教学当中发现，学生在利用不等式的性质、基本不等式求最值解题时，会出现很多类似的错误，现给予归纳分析。

1.取倒数时，忽视左右的符号

例1：解不等式〖SX（〗1〖〗x-1〖SX）〗

错解：原不等式等价于x-1>0.

方法1：由于可能为正，也可能为负，故原不等式同解于0

方法2：原不等式等价于〖SX（〗1〖〗x-1〖SX）〗-1

2.认为同向不等式可加，放宽了不等式中变量的约束条件

例2：设f（x）=ax2+bx，且-1≤f（-1）≤2，2≤f（1）≤4，求f（-2）的取值范围.（高中数学必修5北师大版）

错解：依题意得〖JB（{〗1≤a-b≤2，（1）2≤a+b≤4，（2）〖JB）〗 〖JB（{〗〖SX（〗3〖〗2〖SX）〗≤a≤3，（3）0≤b≤〖SX（〗3〖〗2〖SX）〗，（4）〖JB）〗

又f（-2）=4a-2b，3≤f（-2）≤12 .

分析：由（1），（2）加减消元得（3），（4）时，不是等价变形，致使f（-2） 范围扩大.

方法1：由f（-1）=a-b，f（1）=a+b得

从而〖JB（{〗a=〖SX（〗f（1）+f（-1）〖〗2〖SX）〗b=〖SX（〗f（1）-f（-1）〖〗2〖SX）〗〖JB）〗 从而f（-2）=4a-2b=f（1）+3f（-1）

又-1≤f（-1）≤2，2≤f（1）≤4

f≤f（-2）≤10.

方法2：（待定系数法）

令f（-2）=4a-2b=mf（-1）+nf（1）=（m+n）a+（m-n）b

〖JB（{〗m+n=4m-n=2〖JB）〗 即 〖JB（{〗m=3n=1〖JB）〗

则f（-2）=3f（-1）+f（1），下同正解1.

方法3：（利用简单线性规划）

〖TP000.TIF；%40%40，Y〗由题意得〖JB（{〗1≤a-b≤22≤a+b≤4〖JB）〗 ，

令z=f（-2）=4a-2b，求f（-2）的取值范围转化为

求目标函数z=4a-2b在约束条件〖JB（{〗1≤a-b≤22≤a+b≤4〖JB）〗 下的最值.

5≤z≤10，即5≤f（-2）≤10 .

已知f（x）=ax2-c，且-4≤a-c≤-1，-2≤f（2）≤5，求f（x）的取值范围.

3.利用平均不等式时忽视等号成立的条件

例3：某工厂拟造一座平面为长方形，且面积为200m2的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过16m，处理池的高度一定，如果四周为池造价为400/m ，两道隔墙造价为248/m，池底造价为80/m，那么如何设计污水池的长和宽，才能使总造价最低？（高中数学必修5北师大版）

错解：设长、宽分别为a/m，b/m，总造价为y元，则ab=200，0

y=400（2a+2b）+248×2b+80×200

=800a+1296b+1600

=800a+1296·〖SX（〗200〖〗a〖SX）〗+16000（0

y≥16000+2〖KF（〗800a·（1296·〖SX（〗200〖〗a〖SX）〗）〖KF）〗=30400

当且仅当800a=1296·〖SX（〗200〖〗a〖SX）〗，即a=324时，总造价最低.

正解：由错解中得到

y=400（2a+2b）+248×2b+80×200

=800a+1296b+1600

=800a+1296·〖SX（〗200〖〗a〖SX）〗+16000（0

由于函数是减函数，所以当a=16m，b=〖SX（〗200〖〗16〖SX）〗=12.5m时，总造价最低.

4.解不等式忽视等价变形

例4：求不等式〖SX（〗x-2〖〗x-1〖SX）〗≥0的解集.

错解：原不等式等价于（x-2）（x-1）≥0.

正解：原不等式等价于（x-2）（x-1）≥0且x-1≠0

原不等式的解集为{x|1

例5：解关于x的不等式xlogax>〖SX（〗x〖SX（〗9〖〗2〖SX）〗〖〗a2〖SX）〗（a>0，a≠0）.

错解：对已知不等式两边同时取以a为底的对数，得（logax）2>〖SX（〗9〖〗2〖SX）〗logax-2，整理，得 ，解得2（logax）2-9logax+4>0，解得logax4.

（1）当a>1时，x>a4或0

（2）当0〖KF（〗a〖KF）〗 .

分析：由于对数函数是单调函数，当底大于1或底大于0小于1时，对数函数的单调性不同。因此，对数函数的底固定，不等号方向才固定，底不定，不等号方向不定。此类问题“应该先固定底，后取对数”。

正解：（1）当a>1时，对已知不等式两边同取以a为底的对数，得（logax）2>〖SX（〗9〖〗2〖SX）〗logax-2，由此解得x>a4 或0

（2）当0

5.恒成立的参数讨论特别是特殊值

例6：不等式（a-2）x2+2（a-2）x-4

A.（-∞，2] B.（-2，2] C.（-2，2） D.（-∞，2）

分析：在本题当中最易出现错误的是忽视对a-2的讨论，误认为原不等式是一元二次不等式。

解：当a-2=0时，原不等式变为0·x2+0·x-4

参考文献

[1] 蒋明权，马成铭. 高中数学知识问答词典. 湖南大学出版社，2010.

[2] 王尚志，戴佳珉. 普通高中课程标准实验教科书5. 北京师范大学出版社，2011.

[3] 汪香志，戴佳珉. 普通高中课程标准实验教科书5教师用书. 北京师范大学出版社，2011.