对数学概念讲解的认识

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摘 要： 本文总结了讲解数学概念的教学程序，即认识概念、引进概念、形成概念、深化概念，并结合具体的例子加以佐证。

关键词： 数学概念 认识概念 引进概念 形成概念 深化概念

数学概念是数学基础知识的基本内容，数学全部内容的展开都基于这些概念之上。要提高数学教学质量，就必须加强数学概念的教学。我根据自己的学习经历、教育实习，以及对教法资料的参阅，总结出数学概念教学中的必要程序，在教学中应该把握的数学概念的两个基本特征。并且都结合具体的例子加以阐述，希望此文能在对教师教学和学生学习都有帮助的同时，更让我们认识到数学概念及其讲解方法的重要性。

讲解数学概念一般要经过以下四个程序。

1．认识概念

在讲解一个概念以前，应围绕这个概念明了五个方面的问题：（1）这个概念讨论的对象是什么？有何背景？（2）概念中有哪些规定和条件？它们与过去学习的知识有什么联系？这些规定和条件的确切含义是什么？（3）概念的名称，术语有什么特点？与日常用语比较与其他概念，术语比较，有无容易混淆的地方？应当如何理解这些区别？（4）这个概念有没有重要的等价说法？为什么等价？（5）根据概念中的规定和条件，能归纳出哪些基本性质？各个性质又是有概念中的哪些因素决定？这些性质在应用中有什么作用？能否派生出一些重要的数学思想方法？

2．引进概念

数学概念本身是抽象的，所以新概念的引入一定要从学生的知识水平出发，密切联系实际。由于概念产生、发展的途径不同，因此引入概念的途径也不同。

对原始概念的引入，应通过一定数量的感性材料来引入，使学生看得见、摸得着。但需要注意，事例的引入一定要抓住概念的本质特征，要着力揭示概念的真实含义。

例如，在讲解“平面”这个概念的时候，可以从常见的桌面、黑板面、平静的水面等物体中抽象出来，但在讲解中一定要注意突出“无限延伸性和没有厚度”的本质特征。有些概念则可以借助生动形象的直观模型和教具，使学生从感性认识逐步上升到理性认识，形成清晰的概念。尤其在立体几何教学中，由于学生的空间想象能力有限，因此模型和教具的使用更具有重要作用。但是，教具的使用也要得当，要注意科学性和准确性。

对于那些由旧概念深化、发展而来的新概念，不要将其直接教给学生，一定要从理解上下功夫，应精心选用引人入胜的方法。

例如，“数列极限”这个概念可这样设计：

师：0.9的循环和1是否都是有理数?

生：是。

师：哪个大?

生：1。

师：大多少?

生：……

师：看，如果0.9取无限个循环0.99999……=3×（0.3333……）=3×（1/3）=1了!

这样再引入“数列极限”的概念，因为0.9的循环是可以无限的，用有限的方法无法找到它的准确值，现在就可以自然、顺畅地引入这一新概念。

3．形成概念

在教学中，引入概念，并使学生初步把握了概念的定义之后，不等于形成了概念。要想让学生形成概念，还必须在感性认识的基础上对概念做辨证分析，用不同的方法揭示不同概念的本质属性。

（1）反复练习，巩固概念。

正面阐述概念的本质属性后，应安排作巩固练习。

例如，引入因式分解后，可选择下列例题让学生回答:下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解?为什么?

m2（x+2）（x-2）=m2x2-4

a2-9=（a-3）（a+3）

a3-9a=a（a2-9）

x2-y2+1=（x-y）（x+y）+1

（2）通过变式深化理解概念。

例如，钝角三角形的高，我们要按照图（1）来建立概念，然后再用其他的图形（图2或3）让学生练习，否则以后三角形位置一变，学生就找不到钝角三角形的高了。

（3）用新旧概念的对比加快形成概念。

数学是一门系统的科学，数学知识则是由概念和原理组成的体系，每一个概念总要与其他概念发生联系，只有学生领会了所学概念在整体中的位置后，才能深刻理解。

（4）继续引导分析学会运用概念。

数学概念的外延和内涵不是一成不变的，它们在自身的发展中不断充实，所以应将数学概念纳入到它自身的矛盾运动中去分析。

例如，“角”的概念开始局限于平面内，且在180度内，即：锐角，钝角，直角；以后发展到平角，周角；又出现了任意角（正角）；规定了旋转方向后，又有了正角、负角的概念；若在空间内，又有了空间的两直线所成的角，直线和平面所成的角，平面与平面所成的角，等等。

（5）从角度透视消除概念混淆。

概念引入后，还应从反面消除模糊认识，严格区分易混淆概念。

例如，讲“三线八角”后，可设计一些稍复杂的图形提问（如下图4）：

下列叙述是否正确？

∠1与∠2是同位角。

∠3与∠4是同位角。

∠5与∠6是内错角。

这样学生就能认准对象，概念清晰。

4.深化概念

根据学生认识规律，不能指望一次成功，在概念形成后，还应采取措施加深理解。

首先，抓住重点，分散难点，有计划地安排概念的形成与深化过程。

例如，三角函数的概念，就应先抓住正弦函数作为重点。又由于正弦函数概念涉及比的意义、角的大小、点的坐标、距离、相似三角形，函数等概念和知识，其中“比”是最本质的特征，因此是正弦函数的重点，但这个“比”的比值又是随角的大小的确定而确定的，因而函数概念和距离是教学中的难点和关键，考虑到要将难点分散，可先给学生复习一下距离的有关概念，然后紧扣函数这一基本线索，引导学生去思考并解决：“为什么在角的终边上所取的是任意的，而相应的比值却是确定的？”

其次，把概念教学与定理，公式，以及解题融为一体，使学生在应用中加深对概念的理解。

例如，方程的“根”和函数的“零点”，表面上看来都很容易掌握，在教学中如果把两个概念与根的判别式，函数的性质，绝对值的性质概念等有关知识割裂开来，学生就不能熟练应用。

有的同学可能得到错误结论：b+ac－1=0。

答对的同学可能有两种解法：

解法一：因为抛物线的开口向下，则a＜0

又顶点M在第一象限，故-b/（2a）＞0

所以b＞0

且（－b+）÷2a＜0＜（－b－）÷2a

因此OA=|（－b+）÷2a|=|（－b－）÷2a|

且由于OC=c＞0

因此|OA|=|（－b－）÷2a|=|（－b－）÷2a|=（－b+）÷2a |OC|=|c|=c

由已知可得（b－）÷2a=c

即4ac（b－ac－1）=0，ac≠0

所以b－ac－1=0

解法二：由|OA|=|OC|点C是抛物线与Y轴的交点

所以OC=－c，即点A的坐标为（－c，0）

故图像与X轴交点的横坐标就是函数的零点

所以a（－c）＋b（－c）+c=0

即c（ac－b+1）=0

而c≠0

所以b－ac－1=0

比较两种解法，后者显然是最佳的。

为了讲清楚数学中的基本概念，教师对概念的两个特性一定要把握住：一个是概念具有确定性和灵活性；一个是概念具有的本质属性。

概念的确定性是说概念的内涵与外延要确定，不能有含糊不清，变化无常。但是应该注意，所谓概念的确定性是相对的，是在一定条件下的确定，而不是永恒不变的。由于客观事物的不断发展，人类认识事物的不断加深，反映客观事物本质属性的概念也在不断地发展变化，这就反映了概念的灵活性。

例如代数学，在开始时是计算的科学，进而是研究方程理论的科学，现在则是研究结构的科学。又例如“指数”概念的发展，由正整数到零指数，负指数，分指数，无理指数，由有限运算到无限运算。

概念的确定性与灵活性的关系一定要处理好，教师在备课时，如果只注意确定性，将使概念僵化，甚至会出现前后矛盾；如果只注意灵活性，则否定了概念的内涵与外延的区别，也不能反映事物的本质。学生在回答问题或做题时出现的错误，往往是对一些数学概念的本质属性没有真正地把握。因此教师在备课时，一定要突出概念的本质属性。

例如，讲“相似多边形”，就必须突出“对应角相等，对应边成比例”这两个条件。两个条件只有一个成立时就不能判定相似性。

为了加深对一些数学的基本概念的认识，在正面说明概念本质的属性后，接着举出一些实例让学生来辨认，是使学生对概念懂得透彻、记得牢固、用得灵活的重要方法。

例如，讲了指数法则后，接着问学生：a2•a3=a6，（3n）2=6n2都对吗？讲了对数定义后，接着问学生：log5，log4，log1/3，log3，log4都能称为对数吗？为什么？以错订正，从正反两方面去认识数学概念，对正确理解数学概念会起到极好的促进作用。

综上所述，我们可以得出这样的结论：加深对概念的理解，是提高解题能力的基础；反过来，只有通过解题实践，才能加深对概念的理解。所以，概念与解题、基础和能力都不可以偏废，而应相辅相成，辩证统一于教学中。

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