向量解法在立体几何探索性问题中的应用

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广西富川民族中学

摘要：本文探讨了向量法在立体几何探索性问题中的应用. 与常规方法相比较，此法规避了空间想象能力给正确解题带来的风险，是快捷处理立体几何问题的好工具.

关键词：探索；平行；距离；垂直；角

立体几何中，平行、垂直、距离和角的问题是主要问题，而以它们为背景的探索性问题是近年来高考数学命题创新的一个显著特点. 由于此类问题涉及的点具有不确定性，所以用传统的解法难度较大，若用向量方法处理，则思路简单，操作方便. 下面举例谈谈向量解法在立体几何探索性问题中的应用.

[⇩]与平行有关的探索性问题

例1在底面为菱形的四棱锥P-ABCD中，∠ABC＝60°，PA＝AC＝a，PB＝PD＝a，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1，试问在棱PC上是否存在一点F，使BF∥面AEC？证明你的结论.

解析由∠ABC＝60°，PA＝AC＝a，PB＝PD＝a得PA面ABCD，故以A为坐标原点，直线AD，AP分别为y轴，z轴，过点A垂直于平面PAD的直线为x轴，建立空间直角坐标系，如图1，则有A（0，0，0），B

[A][B][x][C][D][y][E][F][P][z]

所以当F是棱PC的中点时，，，共面，

即BF∥平面AEC.

[⇩]与垂直有关的探索性问题

例2正四棱锥S-ABCD中，所有棱长都为2，P为SA的中点，如果点Q在棱SC上，那么直线BQ与PD能否垂直？请说明理由.

解析如图2，连结AC，BD交于点O，以射线OA，OB，OS分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系.

则A（，0，0），B（0，，0），C（-，0，0），D（0，-，0），S（0，0，），P

[z][S][Q][C][P][D][O][B][A][x][y]

图2

设CQ为t，由定比分点公式有

[⇩]与距离有关的探索性问题

例3如图3，直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，侧棱AA1＝2，AC＝2，D是CC1的中点，试问A1B上是否存在一点E使得点A1到面AED的距离为？

[z][C1][D][B1][y][B][E][C][A][x][A1]

图3

解析以CA，CB，CC1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则有A（2，0，0），A1（2，0，2），D（0，0，1）.

设E（2－a，a，2－a），则＝（-2，0，1），＝（-a，a，2－a）.

设向量n＝（x，y，z）为平面AED的法向量，

则有・n＝0，・n＝0，

即-2x＋z＝0，

-ax＋ay＋（2－a）z＝0.

令x＝1，得y＝，z＝2，于是n＝1，

，2.

由题意知d＝=，

解得a＝1，即E（1，1，1）.

所以当点E为A1B的中点时，A1到平面AED的距离为.

[⇩]与角有关的探索性问题

例4如图4，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，试问在线段AC上是否存在一点P，使PF与CD所成的角为60°？

[E][z][C][D][x][P][A][B][y][F]

图4

解析建立如图4所示的空间直角坐标系，则C（0，0，0），D（，0，0 ），F（，，1）.

故＝（，0，0）.

设P（t，t，0）（0≤t≤），得＝（－t，－t，1）.

又因为PF和CD所成的角是60°，

所以cos60°＝，

解得t＝或t＝（舍去），

即点P是AC的中点.

所以当点P为线段AC的中点时，PF与CD所成的角为60°.

向量既能体现“数”的运算性质，又具有“形”的直观特征. 因此，它是“数”与“形”相互转化的桥梁和纽带，是解决平行、垂直、角和距离的有效工具. 用向量解决立体几何中的探索性问题时，要能合理地分析空间图形的位置关系和数量关系，恰当的建立空间直角坐标系，选择合理的基本向量，准确表示出相关向量，就能使几何问题代数化，复杂问题简单化，逻辑推理运算化.

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