勾股定理运用中的常见

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勾股定理是极为重要的定理，其应用十分广泛.同学们在运用这个定理解题时，常出现这样或那样的错误.为帮助同学们掌握好勾股定理，现将平时容易出现的错误加以归类剖析，供参考.

一、错在思维定势

例1一个直角三角形的两条边长分别是5和12，求第三条边的长.

错解：设第三条边的长为 ，则由勾股定理，得2 = 52 + 122，即 === 13，亦即第三条边的长是13.

剖析：由于受勾股定理数组5、12、13的影响，看到题设数据，一些同学便断定第三条边是斜边.实际上，题目并没有说明第三边是斜边还是直角边，故需分类求解.

正解：设第三条边的长为 ，（1）若第三边是斜边，同上可求得 = 13；（2）若第三边是直角边，则12必为斜边，由勾股定理，得 = = . 故第三条边的长是13或.

例2在ABC中，三边的长分别为，且 = 3， = 4，为质数，求.

错解：由勾股定理，得 === 5.

剖析：因ABC是一般三角形，故不能用勾股定理来解，只能用一般三角形的三边关系定理来解.只有在直角三角形中，勾股定理才是成立的，否则不成立.造成错解的原因是受“勾3股4弦5”的思维定势的影响而认为 = 5.

正解：由三角形的三边关系定理，得，即，亦即1＜＜7. 因为 为质数，所以 = 2，或 = 3，或 = 5.

二、错在生搬硬套

例3判断由线段组成的三角形能否成为直角三角形，其中 = 2， = 1， =+1.

错解：因为2 + 2 = (2)2+(1)2 = 122 ≠ 2，所以由线段组成的三角形不是直角三角形.

剖析：以上判断似乎有理有据，但实际上是错误的. 错误的原因是生搬硬套，死记2 + 2 = 2，误认为、表示的边一定是直角边，以表示的边一定是斜边.在运用勾股定理的逆定理判断三角形的形状时，应先确定较长的边，然后计算较短的两条边的平方和是否等于较长的边的平方.

正解：因为2＞ +1＞1，且（1）2+ （ +1）2 = （2）2，所以由线段、、组成的三角形是直角三角形（是斜边）.

例4在RtABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是、、，且∠A= 90O， = 10， = 6，求.

错解：由勾股定理，得 == = 2.

剖析：当∠C为直角时，由勾股定理可得等式2 + 2 = 2；当∠A为直角时，等式应该为2+ 2= 2. 造成错解的原因是按照习惯把∠C当成直角了.

正解：由已知条件及勾股定理，得 === 8.

三、错在顾此失彼

例5在ABC中，AB = 10，AC = 12，BC边上的高AD = 8，求BC的长.

错解：如图1，根据勾股定理，得BD === 6，DC === 4. 所以BC = BD + DC = 6 + 4.

剖析：上述解答是不完整的，它只考虑了高AD在ABC内部时的情形（图1），而忽视了高AD在ABC外部时的情形（图2）.

正解：（1）当高AD在ABC的内部时，解法同上，可得BC = 6 + 4；当高AD在ABC的外部时，如图2所示，根据勾股定理，得DC === 4，BD === 6 .所以BC = DCBD = 46.

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