一类数阵问题的探索与思考

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【摘要】等差数列或是等比数列按照一定的规律把取出来的元素排成一个数阵，每行元素的个数成等差或等比数列，求第n行元素之和Sn.

【关键词】数阵;数学归纳法

最近我们的学生学到数学归纳法这一章节，书后习题中出现了这样的一类题目：一个等差数列或是等比数列按照一定的规律把取出来的元素排成一个数阵，每行元素的个数成等差或等比数列，求第n行元素之和Sn，难一点的，还会在某几个Sn的和上做文章.下面我们一起来探讨一下这类问题.

苏教版高中《数学》选修2-2的第91页第9题：将正整数作如下分组：（1），（2,3），（4,5,6），（7,8,9,10），（11,12,13,14,15），（16,17,18,19,20,21），…，分别计算各组所包含的正整数的和如下，试用不完全归纳法猜测S1+S3+S5+…+S2n-1的结果，并用数学归纳法证明.

S1=1

S2=2+3=5

S3=4+5+6=15

S4=7+8+9+10=34

S5=11+12+13+14+15=65

S6=16+17+18+19+20+21=111

……

解答本题的关键是弄清Mk+1=Mk+S2k+1这一关系式，则要有Mn=n4(n∈N*)的猜想以及弄清第n行元素的和Sn如何求这两个问题.

我引导学生思考这样的几个问题：

(1）题中所给的每一行的元素有什么特征？

(2）题中所给的每一行的元素个数有什么特点？

(3）题中所给的每一行的首位元素或末尾元素有何特点？能否将第n行的首位元素或末尾元素写出来？

(4）能否将第n行元素的和Sn表示出来？

观察思考了几分钟之后，学生开始活跃起来，问题的答案也呼之欲出了.不难发现：

(1)将所有元素放在一起构成一个以1为首项、公差为1的等差数列；

(2)每一行的元素个数就是它的行数；

(3)第n行的末尾元素即为前n行的元素总个数n(n+1)[]2，第n行的首位元素即为第n-1行的末尾元素加1即前n-1行的元素总个数加1，即n(n-1)[]2+1.

(4)Sn=n(n-1)[]2+1+n(n-1)[]2+2+…+n(n-1)[]2+n

=n(n-1)[]2+1+n(n+1)[]2・n[]2=n3+n[]2.

解 记Mn=S1+S3+…+S2n-1，由已知得M1=1,M2=16,M3=81,M4=256.猜想Mn=n4(n∈N*).证明

(1）当n=1,M1=1时，猜想成立.

(2）设当n=k(k∈N*)时命题成立，

即Mn=S1+S3+…+S2n-1=k4.

下面证明n=k+1时猜想也成立.

事实上，由题设及上述分析可知：

Sn=n(n-1)[]2+1+n(n+1)[]2・n[]2=n3+n[]2，

则S2k+1=(2k+1)3+(2k+1)[]2=4k3+6k2+4k+1，

从而Mk+1=Mk+S2k+1=k4+(4k3+6k2+4k+1)=(k+1)4，所以n=k+1时猜想也成立.

综合(1）(2），猜想对任何n∈N*都成立，忽然想起苏教版高中《数学》必修5《数列》的第44页第12题，观察：

1

1+2+1

1+2+3+2+1

1+2+3+4+3+2+1

……

（1） 第100行是多少个数的和？这些数的和是多少？

（2） 计算第n行的值.

观察一下可以发现：

(1） 第100行是199个数的和，这些数的和是2（1+2+3+…+100）-100=10000.

(2） 第n行的值是1+2+3+…+n+…+2+1=2（1+2+3+…+n）-n=n2.

倘若加上第三问，比如：假设第n行的值为Sn，设Mn=S1+S2+…+Sn，求出M1,M2,M3,M4,试用不完全归纳法猜测Mn的结果，并用数学归纳法证明.这样不就变成一个完整的数学归纳法证明了吗？猜想的过程可参照苏教版高中“数学”选修2-2的第72~74页案例赏析的第一个案例正整数平方和公式的推导，具体的数学归纳法证明可参照苏教版高中《数学》选修2-2的第87页例3.想起我对我的学生常念叨的两句话：把课本用好，基础不等于简单.试想，我们的高考题不就是基于课本源于课本，某种程度上可以高于课本吗？