挖掘隐藏垂直速证垂直关系

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垂直与平行位置关系的证明是江苏高考立几解答题的两大主题，证明线面、面面垂直一般都最终转化为线线垂直.而在一些特殊的平面图形中，除了已知的垂直关系外，往往还隐藏了一些垂直关系，如果我们能挖掘出这些隐藏的垂直关系，可迅速理清证明思路．本文选择近几年高考试题来加以阐述．

一、正方形中隐藏的垂直

结论①：正方形ABCD中，E、F分别为AB、BC的中点，则DEAF．

简证：易证ABF≌ADE，

得∠BAF=∠ADE，

则∠DAF+∠ADE=90°，即AFDE．

例1：如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD平面ABCD，NB平面ABCD，且MD=NB=1，E为BC的中点，在线段AN上是否存在点S，使得ES平面AMN？若存在，求线段AS的长；若不存在，请说明理由.

故在AN上存在点S，满足AS=12AN=22时，有ES平面AMN.

评注：在确定若有ES平面AMN，则S必为AN中点后，由于E为正方形一边BC的中点，自然考虑作AB中点T，以达到将AEDT这一隐藏的垂直条件用起来的目的．

二、边长比为1∶2的矩形中隐藏的垂直

结论②：矩形ABCD中，BC=2AB，E为BC的中点，则ACDE．

简证：ABBC=CEDC=22，得ABC∽ECD，∠ACB=∠EDC，

所以∠EDC+∠ACD=90°，即ACDE．

例2如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，AP=AB=2，BC=22，E,F分别是AD,PC的中点.求证：PC平面BEF

解析：连接AC

PA平面ABCD，PAAB，PABE，PA=AB=2，PB=22，

BC=22，F为PC中点，BFPC

由结论②知ACBE，BE平面PAC，PCBE，

又BE∩BF=B，PC平面BEF

评注：由于PCBE易证，再抓住隐藏的ACBE，简单转化后即得线面垂直．

三、边长比为1∶2的矩形中隐藏的垂直

结论③：矩形ABCD中BC=2AB，E为AD的中点，则BECE．

简证：BC=2AB，E为AD中点，则AB=AE，DE=DC，

∠AEB=∠DEC=45°，即BEEC．

例3如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，M是棱CC1的中点.证明：平面ABM平面A1B1M

解析：由ABCD－A1B1C1D1为长方体知A1B1平面B1BCC1，

又BM平面B1BCC1，则BMA1B1.由结论③知BMB1M，

BM平面A1B1M，BM平面ABM，平面ABM平面A1B1M．

评注：要证平面ABM平面A1B1M，由于隐藏BMB1M，自然想到BM平面A1B1M．当然，证明B1M平面ABM也可．

四、上下底与直角腰比为1∶2∶1的直角梯形中隐藏的垂直

结论④：直角梯形ABCD中，AD∥BC且∠ABC=90°， 12BC=AD=AB，则BDDC．

评注：上下底比为1:2的梯形是立几证明中常见的图形，若是直角梯形，常利用隐藏的垂直，若不是直角梯形，常取较长底的中点，构造平行四边形．

由上面的几个例题可以看出：掌握这些隐藏的垂直关系，可以让我们迅速理清证明思路，不需要再为探寻垂直关系而挖空心思，可起到事半功倍的效果．当然这些结论虽有助于我们快速解决问题，但不能作为定理运用，在具体的证明过程中应将这些结论证明过程写出来方可．

巩固练习：

1、（11年辽宁）如图，四边形ABCD为正方形，PD平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=12PD．证明：平面PQC平面DCQ．（提示：底面ADPQ是上下底与直角腰比为1:2:1的直角梯形，则有PQDQ）