课堂教学随笔
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摘要：在中学数学解析几何中，求动点的轨迹方程，既是学习的重点内容，也是所教的难点之一，特别对于中等职业学校的学生来说更是如此，由于知识结构的差异，多数学生是奔专业乘兴而来最后却扫兴而归.但另一方面，学好这部分知识，对中职学生的专业知识的巩固和专业技能的提升都有极大的帮助.
中图分类号：G633.6？摇 文献标志码：A ？摇文章编号：1674-9324（2014）07-0237-01
如何确定动点轨迹的方程，怎样运用解题方法，在数学学习过程中显得尤为重要.坐标系的选择是基础，不同的坐标系，就有着不同形式的方程，同一坐标系下不会因解法不同而有不同的方程.教学中，首先让学生明白轨迹是具有共同特性的动点的集合，引导学生对于“定点”、“定长”、“定直线”这三“定”的理解（课本上关于圆、椭圆、双曲线、抛物线方程的建立过程，就是求曲线方程的典范，在教学中必须充分发挥其示范作用）.拟定与三“定”有关的题目，让学生尝试建立不同的坐标系，如已知ABC的一边为8，周长为20，求顶点A的轨迹方程.其次，掌握教材中求动点轨迹的最主要最基本的五个步骤，即：（1）建系；（2）设点；（3）列式；（4）代换；（5）化简.无论是自建坐标系，还是已建坐标系，列式与代换是重点，运用不同的知识体系，采取不同的数学手段，由不同的数学表现形式，经过不同的数学处理，最终得出所要的结论，它是数学能力的综合体现.
一、自建坐标系求方程
例：设动点M与两定点A，B所在的直线互相垂直，求动点M的轨迹方程.
解法一：以过AB两定点的直线为X轴，线段AB的中点O为原点，建立直角坐标系，设M（X，Y）为曲线上不与A（-a，0），B（a，0）合的任意一点，由已知条件MAMB得|MA|2+|MB|2=|AB|2，根据两点间的距离公式，得
（■）2+（■）2=（2a）2
化简得？摇x2+y2=a2（x≠±a） （1）
方程（1）即为所求的点M的轨迹方程.
解法二：以通过A和B两定点的直线为X轴，A为原点，建立直角坐标系，如图：
若AB=2a（常量），那么A与B两点的坐标分别为（0，0）和（2a，0）
设M（x，y）为曲线上不与A，B重合的任意一点，可得|MA|2+|MB|2=|AB|2
于是（■）2+（■）2=（2a）2
化简，得（x-a）2+y2=a2（x≠0，x≠2a） ？摇（2）
方程（2）也是所求的点M的轨迹方程.
比较方程序（1）（2），可以看出，虽然都是点M的轨迹方程，但由于选择的坐标系不同，所得的轨迹方程的形式也就不同.方程（1）要比方程（2）简单，因此，在建立曲线方程时，要注意选择适当的坐标系，使曲线方程的形式比较简单.
解法三：坐标系的建立同解法一.
设M（x，y）为曲线上不与A（-a，0），b（a，0）重合的任意一点，由已知条件MAMB KAM・KMB=-1
根据斜率公式，得■・■=-1
化简得y2=a2-x2（x≠±a）
即？摇x2+y2=a2（x≠±a） （3）
方程（3）也是所求点M的轨迹方程.
比较以上方程可以看出：在同一个直角坐标系中，用不同的方法求出的同一轨迹的曲线方程是相同的.
二、已建坐标系求方程
例：过原点的直线与圆x2+y2-6x+5=0相交于A、B两点，求弦AB的中点M的轨迹方程.
解法一：设动点M（x，y），因CMAB，
则KAB・KCM=-1 有■・■=-1 （x≠3，x≠0）
化简得x2+y2-3x=0 （x≠3，x≠0）
由两曲线的交点可知x满足：■≤x≤3，故所求方程为
x2+y2-3x=0（■≤x≤3）
解法二：在直角三角形OCM中，OM2+CM2=OC2 （x2+y2）+（x-3）2+y2=9
化简得x2+y2-3x=0
由两曲线的交点可知x满足■≤x≤3
所求方程为x2+y2-3x=0 （■≤x≤3）
从上两题看出，求轨迹方程问题，要循序渐进，由易到难，充分利用所学知识，寻求不同的解决方法，在不断的探索中寻找乐趣.