抽象函数的常见问题的求解策略

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抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。其作为初等数学和近代数学的衔接点，既能体现数学的本质特征，又能体现新课标对知识和技能考核的要求，必将受到高考的重视。但由于抽象函数具有概念抽象、构思新颖、隐蔽性强、灵活性大、综合程度高等特点，在学习时使不少学生倍感困惑。以下介绍几种解决抽象函数问题的方法，力求使抽象函数问题的求解有“章”可循。

一、定义域问题

求定义域问题多为简单函数与复合函数的定义域互求，一般有两种类型：

（1）已知 的定义域是A，求 的定义域；

（2）已知 的定义域是A，求 的定义域；

例1 已知函数 的定义域是 ，求函数 的定义域。

解： 的定义域是 ， 的定义域由下列不等式组的解集确定：

故函数 的定义域为 。

例2 已知函数 的定义域是 ，求函数 的定义域。

解： 的定义域是 ，是指 ， 中的 满足

故函数 的定义域为 。

点评：求抽象函数定义域问题，实际上就是以函数的定义为背景，正确理解函数符号及其定义域的含义是求解此类问题的关键。这类问题要抓住两点：

（1）函数定义域是指函数自变量 的取值范围；

（2）复合函数特点：将函数 中的 看做 中的 ，它们的取值范围相同。

二、求值问题

例3 已知定义域为 的函数 ，同时满足下列条件：① ；② ，求 的值。

解：取 ，得 ，又 ，

又取 ，得 。

点评：赋值法是解此类问题的常用技巧。而怎样赋值？需要明确目标，细心研究，反复实验。如例3中通过观察已知与未知的联系，可以巧妙地赋值，取 ，这样便把已知条件 与欲求的 沟通了起来。

三、奇偶性问题

例4 （1）已知 对一切实数 都成立，且 ，求证 是偶函数。

（2）已知函数 （ 且 ），对任意不等于零的实数 都有 ，试判断 的奇偶性。

分析：函数具有奇偶性的前提是定义域关于原点对称，再考虑 与 的关系。

解：（1）取 ，得 ，取 ，得 ，因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，即 是偶函数。

（2）取 ，得 ，取 ，得 ，取 ，得 ，所以 ，所以 ，所以 ，即 是偶函数。

点评：判断抽象函数奇偶性的关键是理解函数奇偶性的定义，明确目标（探究 与 的关系），活用抽象式，巧妙赋值。

四、单调性问题

例5 已知偶函数 （ 且 ），对定义域内的任意实数 都有 ，且当 时， ， ，

（1）求证： 在 上是增函数；（2）解不等式 。

解：（1）取 ，则

因为 ，所以 ，所以 ，即 ，所以 ，即 在 上是增函数；

（2）因为 ，所以 ，因为 是偶函数，所以不等式 等价于 ，又 在 上是增函数，所以 ，解得 。

点评：抽象函数的单调性问题多用定义法解决，而解不等式的关键是利用函数单调性去掉符号“ ”。

五、周期性与对称性问题

由抽象式简单判断：同号看周期，异号看对称。常用结论如下表：

周期性 对称性

例6 已知定义在R上的奇函数 满足 ，则 。

解：因为 是定义在R上的奇函数，所以 ，又 ，所以 是周期为4的周期函数，所以 。

例7 设函数 对任意实数 满足 ，且方程 有且只有6个不同的实根，则这6个根之和为 。

解：由条件 知函数 的图像关于直线 对称，则方程 的根也关于直线 对称，设 为方程 从小到大地6个根，则 ，故 。