初中数学教学中分类思想浅议

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[摘要]本文从四个方面浅议了初中数学教学中的分类思想:一是渗透分类思想,养成分类的意识。二是学习分类方法,增强思维的缜密性。三是引导分类讨论,提高合理解题的能力。四是实施结果与体会。

[关键词]数学教学 分类思想

分类讨论思想,贯穿于整个中学数学的全部内容中。需要运用分类讨论的思想解决的数学问题,就其引起分类的原因,可归结为:(1)涉及的数学概念是分类定义的。(2)运用的数学定理、公式或运算性质、法则是分类给出的。(3)求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能。(4)数学问题中含有参变量,这些参变量的取值会导致不同结果的。应用分类讨论,往往能使复杂的问题简单化。分类的过程,可培养学生思考的周密性,条理性,而分类讨论,又促进学生研究问题,探索规律的能力。

教学中可以从以下几个方面,让学生在数学学习过程中,通过类比、观察、分析、综合、抽象和概括,形成对分类思想的主动应用。

一、渗透分类思想,养成分类的意识

每个学生在日常中都具有一定的分类知识,如人群的分类、文具的分类等,我们利用学生的这一认识基础,把生活中的分类迁移到数学中来,在教学中进行数学分类思想的渗透,挖掘教材提供的机会,把握渗透的契机。如数的分类,绝对值的意义,不等式的性质等,都是渗透分类思想的很好机会。

如,两个有理数的比较大小,可分为:正数和正数、正数和零、正数和负数、负数和零、负数和负数几类情况来比较,而负数和负数的大小比较是新的知识点,这就突出了学习的重点。

结合“有理数”这一章的教学,反复渗透,强化数学分类思想,使学生逐步形成数学学习中的分类的意识。并能在分类讨论的时候注意一些基本原则,如分类的对象是确定的,标准是统一的,如若不然,对象混杂,标准不一,就会出现遗漏、重复等错误。如把有理数分为:正数、负数、整数,就是犯分类标准不一的错误。在确定对象和标准之后,还要注意分清层次,不越级讨论。

二、学习分类方法,增强思维的缜密性

在教学中渗透分类思想时,应让学生了解,所谓分类就是选取适当的标准,根据对象的属性,不重复、不遗漏地划分为若干类,而后对每一子类的问题加以解答。掌握合理的分类方法,就成为解决问题的关键所在。分类的方法常有以下几种:

1.根据数学的概念进行分类

有些数学概念是分类给出的,解答此类题,一般按概念的分类形式进行分类。

这是按绝对值的意义进行分类。

例:解关于x的不等式:ax+3>2x+a

分析通过移项不等式化为(a-2)x>a-3的形式,然后根据不等式的性质可分为a-2>0,a-2=0,和a-2

当a-2>0,即a>2时,不等式的解是x>a-3a-2

当,a-2=0,即a=2时,不等式的左边=0,不等式的右边=-1

因为0>-1,所以不等式的解是一切实数。

当a-2

2.根据图形的特征或相互间的关系进行分类

如三角形按角分类,有锐角三角形、直角三角形、钝角三角形,直线和圆根据直线与圆的交点个数可分为:直线与圆相离、直线与圆相切、直线与圆相交。

例如等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°,底边长为a,则其腰上的高是多少?

分析:本题根据图形的特征,把等腰三角形分为锐角三角形和钝角三角形两类作高CD,如图,可得腰上的高是或从几何图形的点和线出现不同的位置进行分类

在证明圆周角定理时。由于圆心的位置有在角的边上、角的内部,角的外部三种不同的情况,因此分三种不同情况分别讨论证明。先证明圆心在圆周角的一条边上,这种最容易解决的情况,然后通过作过圆周角顶点的直径,利用先证明(圆心在圆周角的一条边上)的这种情况来分别解决圆心在圆周角的内部、圆心在圆周角的外部这两种情况。这是一种从定理的证明过程中反映出来的分类讨论的思想和方法。它是根据几何图形点和线出现不同位置的情况逐一解决的方法。教材中在证明弦切角定理:弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。也是如此分圆心在弦切角的一条边上,弦切角的内部、弦切角的外部三种不同情况解决的。

三、引导分类讨论,提高合理解题的能力

初中课本中有不少定理、法则、公式、习题,都需要分类讨论,在教授这些内容时,应不断强化学生分类讨论的意识,让学生认识到这些问题,只有通过分类讨论后,得到的结论才是完整的、正确的,如不分类讨论,就很容易出现错误。在解题教学中,通过分类讨论还有利于帮助学生概括,总结出规律性的东西,从而加强学生思维的条理性,缜密性。

一般来讲,利用分类讨论思想和方法解决的问题有两大类:其一是涉及代数式或函数或方程中,根据字母不同的取值情况,分别在不同的取值范围内讨论解决问题。其二是根据几何图形的点和线出现不同位置的情况,逐一讨论解决问题。

分类讨论往往能使一些错综复杂的问题变得异常简单,解题思路非常的清晰,步骤非常的明了。另一方面在讨论当中,可以激发学生学习数学的兴趣。

利用现有教材,教学中着意渗透并力求帮助学生初步掌握分类的思想方法,结合其它数学思想方法的学习,注意几种思想方法的综合使用,给学生提供足够的材料和时间,启发学生积极思维。相信会使学生在认识层次上得到极大的提高,收到事半功倍的教学成效。

四、实施结果与体会

1.激发了学生的学习兴趣。分层教学使学生的学习目标更明确,更切合自身实际,学习负担也减轻了,学习过程比较轻松、灵活、主动,培养了学生的学习兴趣,使每个同学都能生动、活泼地得到发展。同时既重视学生的共同要求,又照顾了不同类型的个性差异。

2.有效提高了课堂效率。分层教学,既检查了自己教学的效果,又了解了学生,有利于改进教学工作。

对学生来说,既检查了学生的成果,又促进了学生的学习,同时使教学首尾相接,有秩序地进行,及时进行查漏补缺,有效地提高了课堂效率。

3.学生整体得到提高。教师改变了以往面向少数、忽视多数、忽视全面发展的现象。教师着眼点是全体学生,能重视各类学生的发展,使各类学生都有所学、有所得、有所提高,有效缩小了学生间的差距,促使学生的整体优化。

4.实施的反思。虽然实施了分层教学法并取得了一定的成绩,但总觉得有许多地方做得不尽如人意。首先,实施分层教学法对教师在时间、精力、课前教学准备等都提出了更高的要求;其次,学困生的学习情绪反复性很大,但只要经常与他们进行交流,做好思想工作,还是可以解决的;再次,一定要做好课后分层辅导和配套练习工作,及时解决学习问题,巩固知识。