水平荷载作用下桩基有限杆单元法算法研究
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摘要：本文基于有限元计算的基本概念，对杆系有限元方法进行了具体分析，推导出了具有对称形式的有限杆单元刚度修正矩阵，与传统方法进行了分析比较，提出了与有限杆单元法相适应的计算方法。
Abstract: this paper, based on the finite element calculation of the basic concept of the finite element method on the rod specific analysis, the paper derives a with symmetrical forms of limited bar element stiffness matrix modification, and the traditional methods are analyzed and compared, and puts forward the method and finite bar element to calculation method.
Keywords: horizontal load pile foundation finite element
中图分类号：U443.15 文献标识码：A文章编号：
工程中风、海浪、地震、冲击等横向荷载对超长桩的影响十分显著，水平荷载，尤其是纵横向荷载共同作用下的超长桩研究却相对匮乏。虽然相关学者尝试利用不同方法给出倾斜荷载桩的解答及计算方法。然而，相关研究的数值计算过程较为繁琐，且多采用m法作为土体抗力假设，难以反映土体的非线性特性。
1.轴力杆单元
承受轴线载荷的等截面直杆如图1，其中f(x)是轴向的分布载荷(例如重力，离心力等)，P1，P2，…，Pj，…是轴向的几种荷载。对此杆件进行应力和变形分析时，可以假定应力在截面上均匀分布，原来垂直于轴线的截面变形后仍保持和轴线垂直，因此问题可以简化为一维问题。如以位移为基本未知量，则问题归结为求解轴向位移函数u(x)。
图1 轴向载荷作用等截面直杆
从上述基本假设出发，可以导出承受轴向载荷等截面直杆的基本方程如下：
几何关系
(1)
应力应变关系
(2)
平衡方程
(3)
或
(4)
端部条件
(端部给定位移)； (端部给定荷载) (5)
可以将问题转换为求解泛函 的极值问题，其中
(6)
式中l是杆件长度，A是截面面积，uj=u(xj)是集中载荷Pj(j=1,2,…)作用点xj的位移。集中载荷Pj可看作是包含在分布载荷f(x)中的特殊情况，为讨论方便，后文不再单独列出解释。
典型轴力杆单元如图2所示
图2 二结点杆单元
每个结点i只有一个位移参数ui，单元内位移u(x)可以利用一维Lagrange插值多项式通过结点位移ui的插值表示为：
(7)
其中
N=[N1N2...Nn] (8)
uea=[u1u2...un]T (9)
其中n是单元节点数，ξ是单元内的自然坐标，其与总体坐标x的关系如下：
， (10)
l是单元长度，xc是单元中心点总体坐标，-1≤ξ≤1。Ni即一维Lagrange多项式，对两结点单元
， (11)
将上式代入(3-6)，并利用 可以得到有限元的求解方程
Ku=P (12)
上式中 ， ，
(13)
(3-14)
Ke以显式积分得出具体数值，表示如下：
(5)
2. 弯曲梁单元
承受横向载荷和弯矩作用的等截面梁见图3，其中q(x)是横向作用的分布载荷，P1，P2，…；M1，M2，…分别是横向集中载荷和弯矩。经典的梁弯曲理论中，假设变形前垂直梁中心线的截面，变形后仍保持为平面，且仍垂直于中心线。从而使梁弯曲问题简化为一维问题。基本未知函数是中面挠度函数y(x)。梁弯曲问题的基本方程如下：
几何关系
(16)
应力应变关系
(17)
平衡方程
(18)
端部条件为
， (19)
或 ， (20)
或 ， (21)
以上各式，κ是梁中面变形后的曲率；M，Q分别为截面上的弯矩和横向建立；I是截面弯曲惯性矩； ， ， ， 分别是端部给定的挠度，转动、弯矩和剪力。
引入与基本方程相等效的最小位能原理，泛函取最小值
(22)
图3 横向载荷作用下等截面梁
图4 二结点梁单元
利用二结点Hermite单元，桩身位移y(z)可表示为
(23)
(24)
(25)
(26)
(27)
(28)
位移向量ae中y1，y1，θ2，θ2分别为单元结点的水平位移和转角。
利用 可以得到有限元的求解方程
Ka=P (29)
上式中 ， ，
(30)
(31)
上式中ξj和ξk分别为横向集中载荷和弯矩作用点的自然坐标。
3. 平面杆件系统
对于可能承受轴力和弯矩共同作用的平面杆系，离散后单元的各个特性矩阵应是轴力单元和弯曲单元的组合。一般情况下，结点位移参数表示为：
(i=1,2,…,n) (32)
单元刚度矩阵可表示成
(33)
其中
(i,j=1,2,…,n) (34)
载荷向量按类似方法表示为
(i=1,2,…,n) (35)
4. 结论
本文利用横向等效载荷的概念考虑轴向力产生的横向作用，基于弹性力学变分原理，推导出了具有对称形式的有限杆单元刚度修正矩阵，与传统方法进行了分析比较，提出了与有限杆单元法相适应的计算方法。
参考文献：
苏静波, 邵国建, 刘宁. 基于p-y曲线法的水平受荷桩非线性有限元分析[J]岩土力学,2006,27(10):1781-1785
洪勇, 谢耀峰, 张圣平 等.水平荷载下单桩有限元模拟结合p-y曲线法分析[J].中国港湾建设,2007(3):5-9
赵明华,李微哲,杨明辉,单远明. 成层地基中倾斜偏心荷载下单桩计算分析[J].岩土力学,2007,28(4):670-674
赵明华,李微哲,曹文贵.复杂荷载及边界条件下桩基有限杆单元方法研究[J].岩土工程学报,2006,28(9):1059-1063
赵明华,李微哲,杨明辉.成层地基中倾斜荷载桩改进有限杆单元法研究[J].工程力学,2008,25(5):79-84
【作者简介】
[1] 曾令宏(1979_)，重庆市轨道交通设计研究院有限责任公司，重庆，401122，男，重庆人，工程师，大学本科，研究方向为地下结构计算。
[2] 谢韬（ 1981-）男，籍贯：湖南 工作单位：广西交通规划勘察设计研究院，硕士，从事道路桥梁设计工作
注：文章内所有公式及图表请用PDF形式查看。