几何证明中添加辅助线方法初探

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辅助线在几何证题中起着桥梁作用和化难为易的作用，恰当地添加辅助线，可以帮我们开阔思路，把隐性条件明显化.也就是说，辅助线可以把已知条件与待解决的问题联系起来，从而找到解决问题的方法.

一、造相似三角形法

若要证角相等或线段成比例，通常利用相似三角形.如果没有现成的相似三角形，就需要作辅助线来创造.在构造三角形时，常常是按比例式选定三角形，然后从图形看形状是否相似，再作平行线，或者利用平行于三角形一边的直线和其他两边相截，截得的三角形和原三角形相似，或者利用一个等角条件，再造一个等角条件而得到相似三角形.

例1 如图1，从ABC各顶点向对边所引的三线段AD、BE、CF相交于形内一点P，则PDAD+PEBE+PFCF=1.

图1分析：结论左边是三个比例的和，右边是常数1.这里既没有相似三角形，又没有其他比例线段定理的条件，因此需要构造相似三角形.过点P引AC的平行线交AB于G，交BC于H，这就造成了五对相似三角形.从DPH∽DACPDAD=PHAC，以FPG∽FCAPFCF=PGAC两式相加，得PDAD+PFCF=PHAC+PGAC=HGAC.又由BHG∽BCA，BHP∽BCE，得HGAC=BHBC=BPBE.通过代换得PDAD+PFCF=BPBE，两边同加上PEBE就得到要证明的结论.

二、造垂线法

在证题中，有时需要做垂线，造成直角三角形利用勾股定理或造成三角形的高以利用面积公式；或造成等腰三角形底边上的高，以利用三线重合的性质；或造成平行性或利用平行线间的距离处处相等的条件等.在造垂线时，常常是过已知点做已知直线的垂线，或者利用结论是直角或两线垂直的定理造垂线.

三、合取和折取法

要证明一量等于其他两量之和或差，常将两个小量合取，证其等于大量，或者将大量折取成两部分，证其分别等于其中的两个小量.作为合取和折取的特殊情况，就是加倍和折半，这在证明一量等于另一量的两倍或一半时常有.

四、翻折法

如果图中出现轴对称图形，有时可以沿着对称轴把一部分图形翻折过去，从而达到证题的目的.

五、旋转法

如果图形中出现中心对称图形，有时可绕对称中心进行旋转，或者图形中出现有一个公共端点的等线段，可将一条线上的图形绕此公共端点旋转到另一条线段，或者甚至连等线段也没有，有时仍需将某部分图作一定的旋转，借此达到证题目的.

六、平移法

在证题中，有时还需要把一部分图形平行移动到适当的位置，使之与证明的结论发生联系.平移通常是通过作平行线来实现.造平行线一般有：过直线外一点作已知直线的平行线、造平行四边形、造中位线.

七、四点共圆法

通过证明四点共圆可造成等角条件，或利用圆中成比例线段定理.

例2 如图4，圆内接四边形ABCD的两组对边延长各交于E、F，分别过E、F作圆的切线EG和EH.求证：EF2=EG2+FH2.

图4

分析：过F、D、C作圆交EF于K，不难证明E、B、C、K共圆，于是EG2=EC·ED=EK·EF①，FH2=FC·FB=FK·EF②，两式相加得EG2+FH2=EK·EF+FK·EF=EF·（EK+FK）=EF2.

八、归纳法

帮助学生总结添加辅助线的规律（口诀）.辅助线如何添，找出规律凭经验.题中有角平分线，可向两边作垂线.线段垂直平分线，可与两端把线连.三角形中两中点，连结则成中位线.三角形中有中线，则把中线一倍延.成比例，证相似，通常要作平行线.作线原则有一条，证题线段别割断圆外若有一切线，切点圆心把线连.如果两圆内外切，经过切点作切线.两圆相交于两点，一般要作公共弦.是直径、成半圆，想作直角把线连.作等角，添个圆，证明题目少困难.辅助线是虚线，画图注意莫改变.