“杨辉三角”与一题多解的计算思维
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摘要：程序设计类课程充满了思维探索，教师可围绕某个典型题例，进行一题多解的思维训练，学生通过自主探索来接触计算思维，从多元角度对同一问题，进行分析与求解，立体训练自己的能力。
中图分类号：TP311.1 文献标识码：A 文章编号：1009-3044（2013）26-5917-03
1 概述
程序设计类课程对于初学学生来说，是一门既有挑战，又有点难度的课程。学得好的同学就是高手，不能入门的连考个及格都困难。因此教师教授这类课程时，肯定不能照本宣科，也不能简单按模块教学，应该围绕培养学生的计算思维展开。
即以典型的专题为载体，用思维训练来贯穿整门课程。精选案例，对每个案例发散展开，精讲多练，并让学生进行自主的循序渐进的实践训练。
案例或载体的选择原则如下：应该选择一些基础性的综合的案例。这些案例蕴含了：1）基本知识如语法、丰富数据类型；2）凸现程序基本结构；3）能带有一定典型算法。举例来说，杨辉三角带有组合问题数学背景，蕴含了循环结构和二维数组操作的案例。斐波拉契数列蕴含了迭代或递归等多个循环算法的案例。润年就是一个蕴含一个逻辑结构、选择结构算法的案例。
我们对案例内的一些内容作一些约定，比如基础算法选择结构、基本循环、基本双重循环、简单的数据结构都成为原子的知识或技能点或能力点。比如输出一个长方形的*形图案，考核的是对双重循环的掌握，我们认为这个长方形的*形图案是简单的、原子的能力点。还有上三角*也是原子的能力。而棱形*图案，我们认为它是复杂的，它对循环控制的要求较高。举例来说，下三角的输出就是一个原子能力点，代码如下：
//空C文件也是原子的
#include "stdio.h"
main（）
{}
//原子能力点，二维数组的输出
for（i=0；i
{ for（j=0；j< N；j++）
printf（"%d "，a[i][j]）；
printf（"＼n"）；
}
//原子能力点，完整的下三角*的输出
#include "stdio.h"
main（）
{ int i，j；
for（i=0；i
{ for（j=0；j
printf（"%c "，'*'）；
printf（"＼n"）；
}}
后续文中提到的原子能力点，大家就不会感到突兀了。
2 何谓一题多解
这里讲到的一题多解，可以是从分析—设计—实现过程中任何可能的变化都可以提取到解题方法，谓之多解。多解的思维的一定是发散性的，发散了那么多的思绪，得到那么多解，如何传授的完毕。因而，在操作前老师，其实，都已经结合课程的内容，来准备案例了，将一些无关C语言课程的思绪撇开，保持集中几个重点，从经典的方法中挖掘思维，授课。
但是，到此如何终止那么学生是得不到锻炼的，因而，留下思考的空间给学生还有其他的解法吗，自己去动脑筋，考虑的方向，依然是用C规范范畴，可以结合数据结构或者算法或者根据问题的定义去设计解法，得到答案，要反馈总结，如，逆向思考，自己做得C程序的解是否有数据结构的局限性，存储空间的局限性，方法本身的局限性。甚至C都弄清楚后，对于一般程序设计的解法是什么，又进行了合并、推理、推广，得到新一轮提升。
3 杨辉三角与一题多解的计算思维
以杨辉三角为例谈一题多解的问题。得到我们的第一步：
1）待求解问题。
我们会先考虑分析其数学背景，为多项式系数问题，得到第二步：
2）转换与替代：把求解问题抽象成数学问题，需要有高中的数学背景知识。
从数学的角度递进得到，系数与组合的关系。
每个具体的数字是[Cnm]，就是三者阶乘（m！/（m-n）！）/n！，到此，一种计算杨辉三角的方法诞生了：编写原子的求阶乘的函数，用单重循环实现，数学问题被替代成自然杨辉的C语言编码：数学的三者相除，被替代成三次调用此阶乘函数，c（i，j）= f（j）/f（i-j）/f（j），得到杨辉三角的每个系数，下一步，
3）类比发现隐含的相似性，杨辉三角的形状同C原子能力点下三角*输出形状相似，输出方法可以调用前面学过的知识，完成，杨辉三角的每个数据的输出方法。
* for（i=0；i
* * {for（j=0；j
* * * 输出*
* * * * 回车}
类比得到：
for（i=0；i
for （j=0；j
{c（i，j）=f（j）/f（i-j）/f（j）；
输出c（i，j）；
回车}
4）对求解结果，总结反馈不难发现，大数值的阶乘计算用普通的C的数据类型比较麻烦，因为，C整数存储数据的空间小，导致数据范围小，这种方法在实际应用中可能会有瑕疵，因而，需要对阶乘函数进行修改。如何修改，我们说可以从组合的定义出发得到算法，因而，又要从定义出发重新思考，对C（i，j）的进行设计；引出新的编写代码的思维。
再进一步，把调用也跟学生讲了，补充课程的新知识，此为顺势而为，学生平稳接受；5行杨辉三角的每个元素直接输出
呼应了第二步设置；本步骤阶乘的实现方法借用了数学手算的方法，对过去知识的一种回顾，更能激起学生的思维。按理至此，就可以停了，但是，我们总是希望自己的知识能更上一层楼。因而，进一步观察杨辉三角形状不难发现更多的规律，得到下一步：
5） 从数据中，发现数据的规律。
此方法中，最左列全1，对角线全1，其他元素（如2），由其正上方的元素（如1）与左上角的元素（如1）相加得到。从算法中，我们看到有多个数的相加，需要存储数据，杨辉三角又要结合新的知识二维数组，一举多得。依据获得的规律编写C代码，具体如下：非常自然得到C代码，注意其中的语法，数据定义，数据的赋值，数据的计算，数据的输出。
6）留下想象的余地给学生思考。
杨辉三角是一个有数学背景的问题，对于杨辉三角的每个数据，就是一个多项式系数问题，系数问题可以用组合方法求解，也可以系数累加，程序迭代的方法得到。讲解的过程又可以分多种具体的实现方法。
学生可思考不用二维数组做存储空间，还要利用第5步的数据关系来实现，预告C语言中函数的递归，让学生探索，预习。同时，也允许学生创造性思维得到其他的解题方法。
4 总结
本文从教学和思考两个环节谈了用思维贯穿程序设计类课程的方法，其步骤一般包括：“分析-转换-替代-细化-优化-反馈”，希望同学们能真正理解思维方式，并利用好思维。
参考文献：
[1] 李小遐.高职《C语言程序设计》课程教学方法探析[J]. 陕西国防工业职业技术学院学报，2006，16（3）
[2] 常娟，李建平.C语言程序设计多媒体教学探讨[J].山西科技，2007（2）.
[3] 陈兴无.《C语言程序设计》教学中的几个疑难问题的探讨[J].恩施职业技术学院学报（综合版），2006，18（4）.