函数周期性的判别法

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[摘要]判别函数周期性的方法，如果仅从周期函数的定义来判别是远远不够的，而且对于较为复杂的函数其周期性的判别往往无从下手。本文针对这一问题，对函数周期性的判别，进行了初步探索并归纳总结出了几个判别方法。

[关键词]周期函数 周期性判别法 最小正数

一、周期函数的基本概念

函数是高等数学的研究对象，也是学好微积分的重要基础。函数的基本特性主要包括五种，一是函数的单值性与多值性，二是奇（偶）性，三是单调性，四是有界性，五是周期性。现行高等数学教材中，很少甚至没有对函数周期性的判别展开研讨。为了较为详细地研讨函数周期性的判别，我们首先必须明确什么叫做周期函数？怎样求出周期函数的周期？然后再结合实例进一步讨论函数周期性的几个判定方法。

定义：设函数y=f（x），如果有一正数ι存在，对属于定义域的任意x，x+ι，x-ι总有等式：

f（x）=f（±ι） … （1）

成立，则称f（x）为周期函数。

等式（1）要是成立，容易推知，不论x是属于定义域的什么值，x+kι也都属于定义域，且有f（x）=f（x±ι）=f[（x+ι） ±ι]=f（x±2ι）

=…=f（x±kι）

其中k为任意整数。可见满足（1）式的正数ι有无穷多个，在这无穷多个ι中的一个最小的正数T，就称为周期函数y=f（x）的周期。例如，正弦函数y=sinx是周期为2π的周期函数，因为sin（2π+x）=sinx；正切函数y=tanx是周期为π的周期函数，因为tan（π+x）=tanx。又例如，函数f（x）=sin2x是周期为π的周期函数，因为

。

二、函数周期性的判别法

定理1：若f（x）是周期为T的周期函数，则f（ax+b）是周期为T/a的周期函数，其中a与b为常数且a>0。

证：根据周期函数的定义f（x+T）=f（x），只要证明等式

成立就可以了。

因此f（ax）是周期为T/a的周期函数。

例1.求函数f（x）=sin4x+cos4x的最小周期。

解：

因为余弦函数cosx是周期为2π的周期函数，由定理1可知函数f（x）的最小周期为

T=2π/4=π/2。

在电子技术中，最为常见的正弦函数f（t）=Asin（ωt+ ）是周期为2π/ω的周期函数，其中A，ω， 为常数且ω≠0。

定理2：设f1（x）与f2（x）设是定义在同一数集上且周期分别为T1与T2（T1与T2是可通约的）的两个周期函数，则

（1）两函数之和f1（x）±f2（x）也是周期函数，周期为T是T1与T2的最小公倍数。

（2）两函数之积f1（x）・f2（x）也是周期函数，周期为T是T1与T2的最小公倍数。

证（1）：因为T1与T2是可通约的，即T1/T2=m/n，于是有nT1=Mt2=T，其中n，m∈N且互质，设F（x）=f1（x）±f1（x），则

故两个函数之和f1（x）±f2（x）是一个周期为T的周期函数，且T是T1与T2的最小公倍数，记作T=[T1，T2]。

故两个函数之积f1（x）・f2（x）是一个周期为T的周期函数，且T是T1与T2的最小公倍数。

定理3：设f（x）在任一有限区间上都是有界的，且存在一点列{xn}，使 ，则f（x）不是周期函数。

定理4：若f（x）≠a（a为常数），且 ，则f（x）不是周期函数。

如函数 且 不是周期函数。

判定函数f（x）不是周期函数还有其它一些方法，这里不再一一举例。

例2.判别下列函数的周期性并求其周期。

（1）

（2）

解（1）：由定义可知，正切函数tanx的周期是π，由定理1可知函数 的周期是 ；函数

的周期是 。由定理2可知，函数

也是周期函数，且周期T是4π与6π的最小公倍数12π。即T=[4π，6π]。

解（2）：由定义可知，函数 与函数

都是最小周期为2π的周期函数，而

由定理1可知这两函数之积的最小周期是T=2π/2=π。

例3.试证f（x）=sinx2不是周期函数。

证明：用反证法证明。假设f（x）=sinx2是周期函数，则应存在与x无关的正数T，使下式成立：sin（x+T）2=sinx2。则当x=0时，有sinT2=0，

得到

（k，n均为正整数），因为k/n是有理数，而 不是有理数，这与假设矛盾，所以f（x）=sinx2不是周期函数。

三、结束语

要判别一个函数是不是周期函数，关键在于要找到不为零的常数T。现将求解或判别已给函数周期性的方法归之如下：

一是根据周期函数的定义判别，即若存在不为零的常数T，使f（x）=f（x+T）成立，则f（x）就是周期函数，而且最小正数T 就是它的周期。

二是根据定理1来判别，即若....的周期为T，则f（ax+b） 的周期为π/|a| （a，b均为常数且a≠0）。

三是根据定理2来判别，即若f1（x）与f2（x）的周期分别为T1与T2（T1≠T2），则和的函数f（x）=f1（x）±f2（x）或积的函数 的周期T是T1与T2的最小公倍数。

四是根据定理3和定理4来判别。

我们看到，具有相同周期T的两个函数f1（x）与f2（x），它们之和f1（x）±f2（x）或之积f1（x）・f2（x）仍以T为周期的周期函数，但当T是两个已给周期函数的最小周期时，它们的和或积其T可能不再是新周期函数的最小周期了。例如f1（x）=3sinx+2，f2（x）=2-3sinx，它们都是最小周期为2π的周期函数，但其和f1（x）+f2（x）=4却没有最小周期。又例如

也都是最小周期为2π的周期函数，但其积

根据定理1，它的最小周期是π。

值得注意的是，并非每一个周期函数都有最小周期。例如，任何实数都是f（x）=C（C为常数）的周期，所以它没有最小周期。另外，在几何上，周期函数的图形是关于y轴及其与之平行的另一直线对称的。

[参考文献]

[1]朱有清.高等数学复习[M].上海：上海交大出版社，1986： 20―22.

[2]许康.高等数学学习指导[M]. 长沙：湖南科技出版社，1981：21―22.

[3]唐钰其.高等数学习题课[M]. 重庆：重庆大学出版社，1988：3―4.

（作者单位：西安通信学院 陕西西安）