特勒根似功率定理在求解含有纯电阻电路网络中的应用

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摘要：利用特勒根似功率定理可以有效简化两个含有相同纯电阻电路网络的分析，尤其是当电路的其他部分含有独立源、受控源或者非线性器件的情况。本文给出了该简化分析方法的理论依据，并结合实例进行了讨论和验证。本文的讨论结果可供讲授基本电路理论课程的教师参考。

关键词：特勒根似功率定理；纯电阻电路；简化分析

中图分类号：G642.1 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2012）09-0104-02

一、引言

在基本电路理论课程中，特勒根定理（Tellegen’s Theorem）是贯穿电路分析的一条重要定理，适用于任何集中参数电路。而且它只反映了电路的互连性质，与电路元器件的特性无关1～[3]。特勒根定理有两种不同的形式：将其应用于同一个电路的同一时刻时，可得各支路所吸收或发出功率的代数和等于零，又称为特勒根功率定理或特勒根第一定理；而将其应用于两个电路或同一电路的不同时刻时，可得一个电路的支路电压与另一个电路的支路电流之间的某种数学关系，又称为特勒根似功率定理或特勒根第二定理。在实际的电路应用中，特勒根似功率定理由于缺乏明确的物理含义而不易理解，应用也比较少。本文结合作者的教学实践，针对特勒根似功率定理所具有的特点，并结合纯电阻电路自身的特点，讨论其在电路分析中的一点应用。

二、特勒根似功率定理在含有纯电阻电路网络求解中的分析

根据特勒根似功率定理的描述，当两个集中参数电路N和■具有相同的有向图时，若电路N的支路电压向量和支路电流向量分别为ub=[u1，u2，L，ub]T和ib=[i1，i2，L，ib]T，电路■的支路电压向量和支路电流向量分别为■b=[■1，■2，L，■b]T和■b=[■1，■2，L，■b]T，当电路N和电路■中各支路电压和支路电流取一致参考方向时，可得

ub（t1）■b（t2）=0， （1）

■b（t3）ib（t4）=0。 （2）

假设N和■是两个具有相同有向图的集中参数电路，同时N和■中包含有结构相同的纯电阻支路N1和■1，且N1和■1中各条所对应支路上的电阻阻值也分别对应相等，即N1=■1，则可将电路N拆分为纯电阻电路部分N1和含源（包括独立源和受控源）电路部分N2，可将电路 拆分为纯电阻电路部分■1和含源电路部分■2，如图1和图2所示。不失一般性，可假设N1和■1所对应的支路编号为{1，2，L，m}，N1中每一条支路所对应的电阻为{R1，R2，L，Rm}，■1中每一条支路所对应的电阻为{■1，■2，L，■m}，而N2和■2所对应的支路编号为{m+1，m+2，L，b}。取t4=t1且t3=t2，则根据特勒根似功率定理，有■uk（t1）·ik（t2）+■uk（t1）·■k（t2）=0 （3）；■■k（t2）·ik（t1）+■■k（t2）·ik（t1）=0。 （4）如果在N1和■1中各支路上的电阻阻值分别对应相等，即Ri=■i（i=1，2，L，m），则根据电阻支路的欧姆定律，（3）式和（4）式等号左边的第一项有如下关系：■uk（t1）·■k（t2）=■Rk·ik（t1）·■k（t2）=■■k·■k（t2）·ik（t1）=■■k（t2）·ik（t1）。 （5）

由（3）、（4）、（5）式可得：■uk（t1）·■k（t2）=■■k（t2）·ik（t1）。 （6）

上式表明，N2和■2中各支路上的似功率存在以上关系，而此关系与N2和■2内部各支路的特性无关，即N2和■2可以是含有独立源或受控源的电阻电路、动态电路，甚至是含有非线性器件的电路等。以上的结果对于电路分析能够起到一定的简化作用，即在利用似功率守恒定理进行电路分析时，我们可以不再计算与纯电阻支路N1和■1相关联的支路似功率，甚至无需知道N1和■1内部各电阻的阻值。

三、应用示例

下面用一个简单的例题来进一步说明以上的分析。以文献[1]中的习题3.6为例，题目如下：

[例题]在图3所示电路中，N为无独立源二端口电路。（1）is1=-2A，is2=0时，is1输出功率为50W，且u2=10V。（2）is1=0，is2=4A时，is2的输出功率为84W，且u1=20V。试求当is1=2A，is2=3A时每个电流源输出的功率。解：在该题的分析中，常用的方法是采用叠加定理来进行计算，其过程如文献[2]中的叙述。在这里，我们采用前一节所提出的方法。可将二端口电路N之外的所有支路集合作为以上分析中的电路N2和■2。将二端口电路N的左边和右边各当作一个一端口电路，同时考虑各支路的电压和电流采用一致参考方向，则题中所述的两种状态可表示为：

状态（1）：u1=50/2=25V，i1=-2A；u2=10V，i2=0A；

状态（2）：u1'=20V，i1'=0A；u2'=84/4=21V，i2'=-4A。

将所求的状态作为状态（3），且有该状态下的i1''=-2A，i2''=-3A，同时设该状态下N的左右两边端口电压分别为u1''和u2''，则将状态（1）、（3）代入（6）式，可得：

u1·i1''+u2·i2''=u1''·i1+u2''·i2， （7）

计算可得：u1''=40V （8）

同理，将状态（2）、（3）代入（6）式，可得：

u1'·i1''+u2'·i2''=u1''·i1'+u2''·i2'， （9）

计算可得：u2''=25.75V。 （10）

因此，在状态（3）时每个电源的输出功率分别为：

p■=-u1''·i1''=-40×（-2）=80W， （11）

p■=-u2''·i2''=-25.75×（-3）=77.25W。 （12）

以上计算结果与文献[2]中的计算结果相同，验证了本文方法的正确性。

由以上的例题可以看到，纯电阻电路N的内部拓扑结构以及元器件的参数值等对外部电路的分析没有任何影响，因此可以大大简化此类问题的分析和求解。

图3 例题图

四、结语

作为集中参数电路的一条重要基本规律，特勒根定理在处理实际电路分析问题时具有多种不同的应用形式。本文将特勒根似功率定理与纯电阻电路中的欧姆定律相结合，抓住其重要特点，从而可以有效地简化某些包含纯电阻支路且满足一定条件的电路问题的分析。根据本方法的基本原理，可将其推广到含有受控源支路或非线性支路的分析中去。特别是在含受控源支路的电路分析中，可考虑在将受控源支路归入N2和 电路的同时，也将它们各自的控制支路归入N2和■2中，这样可以减少电路分析的复杂度。

参考文献：

[1]陈洪亮，张峰，田社平.电路基础[M].北京：高等教育出版社，2007.

[2]陈洪亮，赵艾萍，田社平.电路基础教学指导书[M].北京：高等教育出版社，2008.

[3]陈洪亮，张峰，谢维敏，等.电路基础试题集解与考研指南 [M].北京：高等教育出版社，2008.

作者简介：何迪（1975-），男，博士，副教授，主要从事电路理论的教学工作和无线通信的科研工作。