如何求基本不等式的最值
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基本不等式是重要的数学基础,是不等式中的重点,内涵丰富,应用广泛,高考每年必考?郾 求最值是基本不等式最重要的应用,应用时要注意“正”“定”“等”三个条件以及“凑”的技巧?郾
一、深刻理解“正”“定”“等”三个条件
“正”指均值不等式成立的前提条件a,b∈R+,即a,b为正数;“定”指用均值不等式时需要通过补项、拆项、平衡系数等方法凑成的和(或积)为定值;“等”指用均值不等式求最值时,一定要注意等号成立的条件?郾
例1 求函数y=x2+■的值域?郾
错解 由y=x2+■得,y=x2+2+■-2≥2-2=0,故所求函数的值域为[0,+∞)?郾
错因分析 本题“正”“定”的条件都满足,但“等”的条件不满足?郾
正解 令t=x2+2(t≥2),则y=t+■-2?郾 由函数单调性的定义知y=t+■-2在[2,+∞)上是增函数,则y≥2+■-2=■?郾 故所求函数的值域为[■,+∞)?郾
点评 使用基本不等式a+b≥2■时,一定要注意“一正、二定、三等”的条件?郾
二、切实掌握应用条件的“凑”的技巧
“正”的条件往往是明显的,而“定”和“等”的条件则往往有些隐蔽,其中挖掘“定”的隐蔽条件成为利用基本不等式求最值的关键?郾 “凑”的目标是“和(或积)是定值”,“凑”的手段通常有以下八种?郾
1?郾 拆项
例2 当x>0时,求y=16x+■的最小值?郾
分析 16x与■的积不是定值,故不能应用基本不等式求最值,但拆项为8x+8x+■后柳暗花明?郾
解 x>0, y=16x+■=8x+8x+■≥3■=12■,当且仅当8x=■,即x=0时,等号成立?郾
故当x=■时,y■=12■?郾
点评 求和的最值,凑定积是关键?郾 均分8x为相同的两项时,注意使变量x的次数和为零?郾
2?郾 裂项
分式(分子所含变量因式的次数不低于分母所含变量因式的次数)求最值,转化为求和的最值?郾
例3 设x>-1,求函数y=■的最小值?郾
分析 先将分子化成关于分母的代数式,进而转化为求和的最值问题?郾
解 y=■=■=(x+1)+■+5≥ 2■+5=9,当且仅当x+1=■,即x=1时取等号?郾
故y有最小值9?郾
点评 凑定值是目标,但含变量因式的x+1的次数和要为零,同时要能取到等号?郾
3?郾 添项
例4 已知a>1,b>1,且ab-(a+b)=1,求a+b的最小值?郾
分析 由于ab-(a+b)=1,则(a-1)(b-1)=2,故可添项应用基本不等式解决?郾
解 a+b=(a-1)+(b-1)+2≥2■+2=2■+2,当且仅当a-1=b-1,即a=b=1+■时取等号?郾 故a+b有最小值2■+2?郾
点评 通过减2加2,使(a-1)与(b-1)的积凑为定值,是解此题的关键?郾
4?郾 置于根号内或两边平方
例5 求y=x■(0
分析 观察所求式子的结构特点,将变量置于根号内或两边平方凑定和?郾
解一 y=x■=■≤■=■,当且仅当x2=1-x2,即x=■时取等号?郾 故y有最大值■?郾
解二 将函数式y=x■两边平方得y2=x2(1-x2)?郾 00, y2=x2(1-x2)≤[■]■=■,当且仅当x2=1-x2,即x=■时取等号?郾 故y2有最大值■,又y>0,则y有最大值■?郾
点评 求积的最值时,若所求代数式中含有根号,往往把变量都置于同一条件下的根号里或将原式两边平方去根号,整合结构形式,凑定和?郾
5?郾 整体代换
例6 若正数m、n满足m+2n=1,求■+■的最小值?郾
错解 ?摇 1=m+2n≥2■, ■≥2■, ■+■≥■≥4■?郾
错因 等号取不到,这是因为“m+2n≥2■”取等号的条件是m=2n,而“■+■≥■”取等号的条件是m=n,显然前后不一致?郾
正解 m、n都是正数,且m+2n=1, ■+■=■+■=3+■+■≥3+2■,当且仅当■=■,即m=■-1,n=1-■时取等号?郾 故■+■有最小值3+2■?郾
点评 合理地将某些特殊的数用一个代数式进行代换,便会出现和或积为定值的情况?郾 “1”的代换就是一例?郾
6?郾 分子常数化
例7 若x∈R+,则函数y=■的最大值为 ?郾
分析 分式■的分子、分母同时除以x2,把变量统一到分母上去,再行处理?郾
解 y=■=■=■,x∈R+, y≤■=3,当且仅当■=■,即x=2时取等号,此时函数y=■的最大值为3?郾
点评 如果分子变量因式的次数比分母变量因式的次数小,且分子变量因式不为零,可采用这种分子常数化的方法统一变量形式,达到解决问题的目的?郾
7?郾 取倒数
例8 若0
分析 观察函数式■的结构特点,取倒数可创造条件运用基本不等式?郾
解 0
■=■・■=■・■・■≤■・■ ■=■・■=■,当且仅当■=■,即x=■时取等号?郾 故■的最小值为16?郾
点评 此类问题往往考查考生的洞察能力,需要考生熟练掌握基本不等式及其变形公式,熟练掌握运用基本不等式求最值“凑”的技巧?郾 再如“若x,y∈R+,■+■=1,求x2y的最小值”也可用这种“取倒数”的方法解决?郾
8?郾 用相反数
例9 若x
分析 注意到“x
解 x
-x>0,-■>0,
(-x)+(-■)≥2■
=6,
-[(-x)+(-■)]≤-6,
x+■=-[(-x)+(-■)]≤-6?郾
故x+■的最大值为-6?郾
点评 在求最值中,如果变量是负数,可利用相反数将其转化为正数,再利用基本不等式和不等式的性质进行处理?郾