赏析如出一辙的两道高考数列题
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2007年高考山东理科数学第19题（以下简称试题1）：设数列{an}满足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝
n3，n∈
N*.
（Ⅰ）求数列{an}的通项；
（Ⅱ）设bn=
nan
，求数列{bn}的前n项和Sn.
时隔仅二年，2009年高考湖北卷文科数学第19题（以下简称试题2）竟然与之如出一辙：已知{an}是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a6＝55，a2＋a7＝16.
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{an}和数列{bn}满足：an＝
b12
＋b222＋
b323＋…＋
bn2n
（n∈
N*），求数列{bn}的前n项和Sn.
试题1赏析:（Ⅰ）此问题等价于数列{3n－1an}的前n项和Sn满足Sn＝
n3
，求数列{an}的通项.
因为a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an=
n3，①
所以当n≥2时，a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－2an－1＝
n-13
，②
①－②得3n－1an＝
13，an＝
13n.
在①中，令n＝1，得a1＝13.
因为n＝1满足an＝
13n
，
所以an＝
13n
（n∈
N*）.
（Ⅱ）因为bn＝
nan
，所以bn＝n3n.
于是Sn＝3＋2×32＋3×33＋…＋n3n， ③
3Sn＝32＋2×33＋3×34＋…＋n3n＋1， ④
④－③得2Sn＝n3n＋1－(3＋32＋33＋…＋3n)，
即 2Sn＝n3n＋1－
3(1-3n)1-3
.
所以 Sn＝
(2n-1)3n+14
+34
.
试题2赏析: （Ⅰ）略，an＝2n－1.
（Ⅱ）此问题等价于数列{
bn2n
}的前n项和Tn满足an＝Tn，求数列{bn}的前n项和.
由（Ⅰ）知，an＝2n－1，所以Tn＝2n－1，由此可求数列{
bn2n }的通项公式，进而得数列{bn}的通项公式，从而问题得解.
当n＝1时，a1＝
b12
，b1＝2.
当n≥2时，an＝
b12
+b222
+b323
+…+
bn-12n-1
+
bn2n
，
an-1
=b12
+b2
22
+b323
+…+
bn-1
2n-1.
两式相减得an－an－1＝
bn2n
，bn＝2n＋1.
因此bn＝
2,n=1,
2n+1,n≥2.
当n＝1时，S1＝b1＝2；
当n≥2时，Sn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝2＋
b2(1-2n-1)1-2
＝2n＋2－6.
因为当n＝1时上式也成立，
所以当n为正整数时都有Sn＝2n＋2－6.
云南省玉溪第一中学(653100)