幂指函数求导方法归纳

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摘 要： 本文作者归纳总结了幂指函数求导的方法：先将其转化为幂函数或指数函数的形式，再进行求导。

关键词： 幂指函数 指数求导法 对数求导法 多元函数求导法

在微积分的教学中，幂指函数的求导是学生学习的难点，对学生来说非常棘手。针对这种情况，我根据自己在多年的教学中积累的资料，通过例题归纳和总结常见的幂指数函数求导方法，希望对教与学双方都有一定的参考价值。

形如

y=u（x）……（1）

的函数称为幂指函数，幂指函数的由来是因为它既不是幂函数又不是指数函数，但它像幂函数，也像指数函数。因此，我们可以考虑将其转化为幂函数或指数函数的形式，再进行求导。

方法一：指数求导法。

由y=u（x）=e=e，可得

y′=e・［v（x）・lnu（x）］′

=u（x）・v′（x）・lnu（x）+v（x）・

方法二：对数求导法。

将y=u（x）两边同时取自然对数，再用隐函数的求导法进行求导，即

lny=v（x）lnu（x）

?圯・y′=v′（x）lnu（x）+v（x）・

?圯y′=u（x）v′（x）・lnu（x）+v（x）・

方法三：“幂+指”求导法。

将幂指函数的求导问题，简化为指数函数与幂函数的求导问题，即把y=u（x）当指数函数求导的结果，与把y=u（x）当幂函数求导的结果相加即可。

1.y=u（x）看作指数函数时

y′=u（x）・lnu（x）・v′（x）

2.y=u（x）看作幂函数时

y′=v（x）・u（x）・u′（x）

y′=u（x）・lnu（x）・v′（x）+v（x）・u（x）・u′（x）

证明：y′=e′

=ev′（x）lnu（x）+v（x）・

=u（x）v′（x）lnu（x）+v（x）・

=u（x）・lnu（x）・v′（x）+v（x）・u（x）・u′（x）

方法四：多元函数求导法。

将y=u（x）看作二元复合函数

令y=u，u=u（x），v=v（x）

利用多元函数求全导数的求法可得

y′==・+・

而=v・u（此时y是幂函数），=u・lnu（此时y是指数函数）

y′=v・u・u′+u・lnu・v′

例：求y=（tanx）的导数。

方法一：指数求导法。

解：y′=（e）′

=e・（sinx・lntanx）′

=（tanx）［（sinx）′+lntanx+sinx（lntanx）′］

=（tanx）［cosx・lntanx+secx］

方法二：对数求导法。

解：将等式两边同时取对数

lny=sinx・lntanx

将等式两边同时对x求导

・y′=（sinx）′lntanx+sinx（lntanx）′

?圯y′=ycosx・lntanx+sinx・cotx・secx

=（tanx）・［cosx・lntanx+secx］

方法三：“幂+指”求导法。

解：1.把y=（tanx）看作幂函数求导

y′=sinx・（tanx）・（tanx）′=（tanx）・secx

2.把y=（tanx）看作指数函数求导

y′=（tanx）・lntanx・（sinx）′=（tanx）・lntanx・cosx

幂指函数的导数为：

y′=（tanx）・secx+（tanx）・lntanx・cosx

=（tanx）・［cosx・lntanx+secx］

方法四：多元函数求导法。

令y=u，u=tanx，v=sinx

y′=・+・

=v・u・secx+u・lnu・cosx

=sinx・（tanx）・secx+（tanx）・lntanx・cosx

=（tanx）・［secx+cosx・lntanx］

教学实践证明，适时地选择某些问题，引导学生多角度、多方位、多层次、多途径去分析、思考，从而寻找多种解法，可使学生思维活跃、思维开阔，从而对问题进行更深层次的思考，对培养学生思维的深刻性和广阔性起着积极的作用。在大力提倡素质教育的今天，教师要注意引导学生多质疑探索，这样不仅仅能充分调动学生主动参与，乐于探索，勤于动手，勤于动脑，更有助于培养学生的创新精神和创新能力。

参考文献：

［1］张三艳.幂指函数的导数计算方法的改进与应用.宜春学院学报，2002.12，（6）.

［2］吴昌.微积分［M］.中国人民大学出版社，2009.7.

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