高三函数复习中难点成因及对策

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【摘要】高中的函数教学在集合与对应的基础上，以幂函数、指数函数、对数函数和三角函数等基本初等函数为载体，全面、系统地研究函数的概念和性质。函数它横向沟通方程与不等式，纵向深入到数列、概率、统计、极限和导数等各个数学分支，是高中数学的重要组成部份和高考数学重点考查的内容。高三的函数教学因其概念本身的抽象性和综合性，以及数学思想要求高和解题方法灵活而成为学生学习的难点。

【关键词】数学；函数；复习；对策

一、重解析式，轻定义域

例1若f（x+1 x）=x2+1 x2-2，求f（x）的解析式。

[错解]由f（x+1 x）=x2+1 x2-2f（x+1 x）=x2+2x1 x+1 x2-4

f（x+1 x）=（x+1 x）2-4

令x+1 x=t，得f（t）=t2-4

f（x）=x2-4

[成因1]学生一般会通过配方把f（x+1 x）=x2+1 x2-2变形为：

f（x+1 x）=（x+1 x）2-4，反映出学生对解析表达式的求法比较重视；

但在“令x+1 x=t”后没有在意新量变t的取值范围-忽视定义域的讨论。

而事实上由x+1 x=t，可以得到：t≤-2，或t≥2，所以f（x）的解析表达式应为：f（x）=x2-4t∈（-∞，-2]∪[2，+∞）

例2函数f（x）是定义在（0，+∞）上的减函数，且对任意a，b∈（0，+∞）都有f（a b）=f（a）-f（b），若f（4）=1，求不等式f（x+6）-f（1 x）>2的解。

[错解]f（4）=1，f（x+6）-f（1 x）>2f（x+6）-f（1 x）>f（4）+f（4）

“对任意a，b∈（0，+∞）都有f（a b）=f（a）-f（b）”

f（（x+6）/1 x）>f（4）+f（4）f（x（x+6））-f（4）>f（4）

f（x（x+6）/4）>f（4）

由已知f（x）是减函数，x（x+6）/4

[成因2]对抽象不等式的求解学生一般都知道变形为“f（x1）2变为x（x+6）/40

1 x>0时，才有x（x+6）/4

所以，原不等式的解应等价于不等式组x+6>0

1 x>0

x（x+6）/4

[对策]在函数教学中要强调任何一个函数都是由“定义域、对应法则、值域”三要素构成的，其中最重要的是“定义域、对应法则”，所以在“函数解析式”写完之后不要忘了“定义域”，不仅如此还要强化“定义域优先”的意识，使学生养成“函数（表达式）━定义域”，“单调性━单调区间”，“新变量━取值范围”成对书写的习惯。

例3若f（x+1 x）=lgx+1 2x+1-2，求f（x）的解析式。

解析：令x+1 x=t（t≠1），

则x=1 t-1；

又要使lgx+1 2x+1有意义，

有：x+1 2x+1>0定义域优先

1 t-1+1 2・1 t-1+1>0t∈（-∞，-1）∪（0，1）∪（1，+∞）

f（t）=lgt t+1-2（t∈（-∞，-1）∪（0，1）∪（1，+∞））

故：f（x）=lgx x+1-2（x∈（-∞，-1）∪（0，1）∪（1，+∞））

二、对作为函数f（x）的自变量x与与作为方程的未知数x的意义含混不清

例41）若f（x）+2xf（1 x）=x2-x+1，求f（x）的解析式。

解析：由于对任意x≠0，有，f（x）+2xf（1 x）=-x+1……①

所以，f（1 x）+21 xf（x）=-1 x+1……②

联解①-2x・②式，得f（x）=x-1

例42）设f（x）是定义在R上的函数，且f（x+1）=-f（x），求函数f（x）的周期。

解析：因为对任意x∈R，f（x+1）=-f（x）…..①，

所以f[（x+1）+1]=-f（x+1）……②

由①代入②得：f（x+2）=f（x），故函数f（x）以2周期。

[问题与成因]以上两题不少学生对此感到无从下手。在老师讲解时也难以理解怎么可以用“1 x”去替换“x”；用“x+1”替换“x”（难道x=x+1吗？）。在他们的观念中只能用“x=1 x”，用“x=x+1”作等量代换，这说明不少学生对“变量”的理解还停滞在“未知数”阶段。

例5已知函数f（x）的定义域是[-1，5]，求函数f（2x2+1）的定义域。

[错解]由f（x）的定义域是[-1，5]知，-1≤x≤5；

于是有：0≤x2≤250≤2x2+1≤51

所以函数f（2x2+1）的定义域为：[0，51]

[成因]错解中，学生由于对变量x的理解还处于未知数阶段，所以在他们看来凡在一道题中出现的x都是意义相同的同一x，因此仍采用等量代换的方法处理问题就是很自然的事了。

[对策]学生出现上述问题主要是对函数自变量的意义和方程未知数的意义理解不透，含混不清，出现“乱认亲戚”（例5中把f（x）的x与f（2x2+1）中的x等同）错误和“六亲不认”（如：若f（-x+2）=f（-x），学生不会同意f（x）的周期是2，非得变形为f（x+2）=f（x）才罢休。反映出学生不认为这里-x与x具有同等的意义）的错误。其对策，一是在函数教学时通过函数和方程实例进行对比，让学生认清明确自变量与未知数的区别，如：函数y=2x-1中x的值为多少，谁也不知道，因为它什么数都可以取，自己高兴是什么就是什么，所以函数中的x叫“自变量”；而方程x2-2x-3=0中的x，它的值我们也许现在还是不知道，但是的值已经被方程本身确定了，只是我们不知道罢了，所以方程中的x只能叫“未知数”。二是在用“函数三要素”判断所给函数是否为同一函数时，设计“判定y=3x2与u=3v2是否为同一函数？”的例题，让学生从反面去理解变量的含义━同一函数未必一定要用相同的字母表示。

例61）Sn是数列{an}的前n项和，且Sn=2n2-n+3，求an的通项公式。

因n为变量，故将上式的n换成n-1，而”n”中与”n-1”中的n为同一个参数解析：由于Sn=2n2-n+3是关于n的函数，

所以Sn-1=2（n-1）2-（n-1）+3*

于是，an=Sn-Sn-1=2n2-n+3-2（n-1）2+（n-1）-3=4n-3（n≥2）

2）求函数y=5x2+8x+5 x2+1的值域。

解析：化函数为方程，利用二次方程的判别式求值域。让学生正确理解变量与未知数的区别和联系，使其深刻地把握变量和未知数的本质。即：

y=5x2+8x+5 x2+1（函数）（5-y）x2+8x+（5-y）=0（方程）。

三、把函数图象的对称变换与函数图象的对称性混为一谈

例71）若对任意x∈R，有f（x+5）=f（9-x），求函数f（x）图象的对称轴。

解析：由于函数f（x）图象关于对称轴成自对称，所以对称轴上的横坐标必为点（x+5，0）和（9-x，0）的中点，故对称轴为：x=（x+5）+（9-x） 2，即x=7

2）求函数y=f（x+5）与y=f（9-x）的图象的对称轴。

解析：y=f（x）与y=f（-x）是关于y轴对称的，y=f（x+5）是y=f（x）向左平移5个单位得到的，而y=f（9-x）=f（-（x-9））是y=f（-x）向右平移9个单位得到的，所以对称轴为x=9-5 2。

[问题与成因]对例7.2）求它的对称轴时，由于学生分不清例7.1）是一个函数f（x）图象关于对直线成自对称，而例7.2）是两个函数的图象关于直线成轴对称的类型上的本质区别，盲目类比用例7.1）的方法求解。

[对策]教学时通过图象的对比，让学生理解一个是函数的自对称，属函数的性质问题；另一个是两个函数成轴对称，属函数的图象变换问题。

（四）对函数图象的变换没有形成系统的方法、对函数概念和性质的理解浮于表面

（y+4）2=4（x-2）

例81）把抛物线的沿x轴正方向平移2个单位，再沿y轴负方向平移3个单位，则所得图象的的方程为：

2）将函数y=sinx的图象先向右平移π 6，再沿水平压缩到原来的1 2，最后纵向伸长到原来的3倍，所得到的图象的函数解析式为（）。

（A）y=3sin（2x-π 3）（B）y=3sin（2x-π 6）

（C）y=3sin（2x-π 12）（D）y=3sin（1 2x-π 6）

（E）y=1 3sin（2x-π 6）（F）y=3sin（2x+π 6）

[问题与成因]由于学生对图象的平衡知识是通过函数y=kx+b学到的，他们靠强记“左加右减，上加下减”来完成图象的平移变换，时间一长口诀记不住了、记混了的事常有发生以；特别是沿轴方向平移还得要求解析式一定得写成y=f（x）的形式，操作很不方便，例8.1）的错解就出现了如y2=4（x+2）-4，y2=4（x-2）-4

等多种情形。

在例8.2）的选择中，学生错选的主要问题是：①行平移后压缩时把平移的量一同压缩，而错选y=3sin（2（x-π 6））=3sin（2x-π 3）；②平移时记错“口诀”，错选成y=3sin（2x+π 6）；③伸长与压缩系数颠倒，错选成（D）或（E）。

[对策]教会学生凡平移图象（不管是函数的图象，还是方程的图象），只要是向正方向平移就“减”，即：用（x-a）替换原函数（或方程）中的x、用（y-b）替换原函数（或方程）中的y，反之亦然。

凡图象伸长、压缩到原来的k倍，就用1 kx替换原函数（或方程）中的x；就用1 ky替换原函数（或方程）中的y。从而使平移与伸缩形成统一的操作规范，便于学生记忆、理解、掌握和运用。

例9已知函数y=f（2x+1）是偶函数，则y=f（2x）的对称轴为（）

（A）x=1 2（B）x=1

（C）x=0（D）x=-1 2

[问题与成因]例生主要有两种错误选择。一是错选（C）x=0，把f（x）是偶函数与f（2x+1）是偶函数混为一谈，误以为f[-（2x+1）]=f（2x+1），并由此推出f（2x+1）=f（-2x-1）f（2x）=f（-2x），所以y=f（2x）关于x=0；二是错选（B）x=1，这类同学虽然理解f（2x+1）是偶函数的含义是：f[2（-x）+1]=f（2x+1），即：f{2-2x）=f（2x），但还是没有真正透彻理解“函数的性质的研究、函数图象的变换都是对单个的自变量‘x’进行操作的！！！”。所以正解是：f{2-2x）=f（2x）

f{2-2x）=f（2x），x=1 2。

[对策]让学生真正透彻理解“对函数性质的研究、函数图象的变换都是对单个的自变量‘x’进行操作的！！！”如：

①y=f（2x+1）是偶函数的含义是：f[2（-x）+1]=f（2x+1），而不是f[-（2x+1）]=f（2x+1）；

②y=f（2x+1）是以3为周期的函数，其含义是：f[2（x+3）+1]=f（2x+1），而不是f[（2x+1）+3]=f（2x+1）；

③y=f（2x+1）的单调区间[-5，4]是其含义是：x∈[-5，4]，而不是2x+1∈（-5，4）；

④y=f（2x+1）关于x=3对称的图象的函数为：y=f[2（6-x）+1]，而不是y=f[6-（2x+1）]等等。

复合型抽象函数对单个自变量‘x’操作的原理就是“换元法”，如：y=f（2x+1）是偶函数的含义是：f[2（-x）+1]=f（2x+1），可以这样论证：

令F（x）=f（2x+1），y=f（2x+1）是偶函数，F（x）也是偶函数，

F（-x）=F（x），即：f[2（-x）+1]=f（2x+1）。

参考文献

【1】孙小琴.数学总复习“高原现象”的成因及对策[J].教书育人，2009（S2）.