基于考试的必然与或然思想研究

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必然与偶然是或然的两极，它们是哲学中纠缠不清的问题之一.数学中，研究的问题大多是确定性的，这是数学成为科学不可动摇的基石的重要保证，而必然与或然思想给精确纯粹、逻辑坚定的数学插上自由的翅膀.它是数学严谨性的补充，赋予数学更灵动的生命.

1 必然与或然思想的考查综述

1.1内涵阐释

必然性是一种必定发生、不可避免的趋势，偶然性则是一种不确定的趋势.显然，二者是对立的，它们代表了两种完全不同的趋势.但它们又是统一的，必然性需要通过大量的偶然性来表现，而偶然背后隐藏着必然性.

《考纲》中指出，“概率研究的是随机现象，研究的过程是在“偶然”中寻找“必然”，然后再用“必然”的规律去解决“偶然”的问题，这其中所体现的数学思想就是必然与或然的思想.”

1.2要求概述

1.2.1课标要求

日本著名数学家和数学教育家米山国藏写过：“无论对于科学的工作者、技术人员，还是数学教育工作者，最重要的是数学的精神、思想和方法，而数学知识知识第二位的”，可见数学思想的重要性，《课标》中也提出评价建议：“笔试仍是定量评价的重要方式，但要注重考察对数学概念的理解、数学思想方法的掌握......等”.基于数学学科的特性，承载

必然与或然思想的主要载体是概率与统计知识.

1.2.2考纲要求

对于数学思想的考查，《考纲》是这样强调的：“对于数学思想和方法的考查必然要与数学知识的考查结合进行，通过对数学知识的考查，反映考生对数学思想、方法的理解和掌握程度”.必然与或然思想主要渗透在概率与统计的考查，当然，数列、函数、三视图、解析几何、矩阵与变换等知识中也反映着必然与或然的思想.

1.3功能剖析

1.3.1考查数据处理能力

例1 （2011年高考福建卷理·19）某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次为1，2，……，8，其中为标准

5

X≥B

A生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂得产品都符合相应的执行标准

X，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：

3 5 3 3 8 5 5 6 3 4

6 3 4 7 5 3 4 8 5 3

8 3 4 3 4 4 7 5 6 7

用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数

X的数学期望；

（Ⅲ）在（I）、（II）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由.（注：略）

评析 本题以产品的质量分级为背景，（II）围绕乙厂产品的等级系数这一随机变量， 提供一个样本数据，考查频率的意义、频率分布表、样本估计总体等基础知识；考查数据统计分析能力、数据处理能力、运算求解能力和数学的应用意识；从“分布列”和“期望”两方面研究随机变量的规律，有力地考查了或然与必然的思想.

1.3.2考查空间想像能力

例2（2010年高考全国卷理·14）正视图为一个三角形的几何体可以是.(写出三种)

评析 本题从正视图为一个三角形出发，考查考生三视图还原物体的能力、空间想象能力.满足条件的几何体可以是三棱锥、三棱柱、圆锥等，这些几何体的几何特征差异很大，却又一个共性：正视图都是三角形，这可以看成是必然与或然思想的一个体现.

1.3.3考查运算求解能力

例3（2010年高考福建卷理·16）设是不等式

S

mξ的分布列及其数学期望

Eξ.

解析 本题设计的有序数组选取过程凸显了随机性，学生阅读信息、提取数据以及实施计算的过程中，都贯穿着必然与或然这一重要数学思想.研究离散型随机变量，我们关心某次随机试验中取值问题，更关心的是随机变量在取某一值时的可能性大小，这样才能确切地掌握随机变量的取值规律，解决相应的问题.显然，研究过程就是“必然”与“或然”有机结合的过程.

1.3.4考查推理论证能力

例4 （2010年高考福建卷理·17）已知中心在坐标原点O的椭圆经过点，且点

C

(2 3

F，

为其右焦点.

（I）求椭圆C的方程；

（II）是否存在平行于OA的直线，使得直线l与椭圆有公共点，且直线与l的距离等于4？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.

解析 本题考查直线、椭圆等的基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力；考生需了解椭圆上任意一点到两焦点的距离之和等于一个常数（），由此可以说明本题考查了学生的必然与或然思想，显然，本题还考查考生的函数与方程思想、数形结合的思想和化归与转化思想.

相应的，笔者认为双曲线和抛物线中也隐含必然与或然思想.另外，等差数列和等比数列也体现着“必然”与“或然”的结合.

2 必然与或然思想的考查回顾

2.1 “或然”中寻找“必然”

数学中，从变量中寻找共性是解题的一种思路.如数列的通项公式，若不考虑这一列数之间的共性，数列就只是一个个孤立的数，没有研究价值.因此，研究数列时都试图从中发现规律，如等差数列、等比数列这两个特殊数列.当然，从“或然”中寻找“必然”是为了能利用“必然”解决“或然”问题.

综观这几年的高考题，通过学生从“或然”中寻找“必然”来考查必然与或然思想的考题，绝大多数是对概率与统计的考查，如：

例5 （2011年高考福建卷理·13）盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个，若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率是_____________.

对概率的考查需要认识各种结果出现的随机性、频率的稳定性、概率的确定性，认识事件发生的偶然性和事件发生的概率的必然性之间的辩证关系，这种随机观念体现必然与或然的思想.

2.2 “必然”中解决“或然”

概率与统计是必然与或然思想的最直接、最重要载体.概率研究的是随机现象， 研究的过程是在“或然” 中寻找“必然” ， 再用“ 必然”的规律解决“或然”的问题.如例1中，利用概率与统计的相关知识解决（I）、（II）问，最终是为第（Ⅲ）问服务，即确定哪个工厂的产品更具可购买性.

3 必然与或然思想的考查展望

3.1 立足《课标》，关注深度广度

综观福建省高考卷，对必然与或然思想的考查主要聚焦在概率与统计问题.显然，承载这一思想的考点有待进一步的挖掘.

3.2 强化应用，重视数学能力

世间万物是千变万化的，必然与或然思想具有应用的广泛性.这几年，概率与统计题重视考题的背景，大多是贴近考生生活和习惯的实际问题.对必然与或然思想考查的同时也能考查数据处理能力和运算求解能力，而与推理论证能力、空间想象能力和抽象概括能力的结合考查的尝试较少.