“猜想思维方法”及其在数学教学中的培育
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摘要：猜想思维方法在数学乃至整个自然科学领域都是一种重要的思维方法，猜想相对于证明具有优先性。要培养中小学的创新精神，要有我们自己的原创性科研成果，首先必须培养学生的猜想意识和能力。而数学作为自然科学之母，在这方面具有不可估量的价值和义不容辞的责任。在数学教学中，要把猜想的两种主要方法归纳法和类比法融汇其中，培养学生的猜想意识和能力。
关键词：猜想思维方法；数学教学；培育
中图分类号:G633.6 文献标识码:A 文章编号:1006-723X(2012)02-0183-03
一、数学方法及猜想思维方法
（一）数学方法
数学方法，有时又称“数学思想方法”和“数学思维方法”，所表达的是指在学习和研究数学的过程中所使用的思维方法。张奠宙先生在其《数学方法论稿》中，提出了数学思想方法的四个层次：［1］
第一，基本的和重大的数学思想方法，如模型化方法、微积分方法、概率统计方法等，主要是可以应用这些方法来研究生活世界的某一领域的问题。数学模型方法主要处理实践与认识的关系，基于实践的基础之上形成的一种数学认识；数理逻辑处理原因与结果的关系问题；几何方法处理时间与空间的问题‘微积分处理运动与静止的关系问题等。
第二，与一般科学方法相应的数学方法，如类比、分析综合、归纳演绎等。
第三，数学学科特有的方法，如数学等价、数学表示、公理化、数形转换等。
第四，中学数学中的解题技巧，如形式化原则、简单性原则、等价交换原则、映射反映原则等。
从这四个层次看，我国的数学教学实践中，最多达到了第四层，就是在教学过程中，教给学生一些解题的方法与技巧，而其他三类思想方法很少涉及，而这些却恰恰是形成数学的学科意识和能力，促进数学学科本身的发展与应用的重要的方法，但在我们的数学教学实践中忽视了。我们的学生只知道做题，只知道做别人给出的题，而不会自己提出问题，即使哪怕仅仅只是一个猜测性的假设，不会应用所学数学知识解决实践中的问题。从这点来看，我国中小学生的数学意识和数学思维水平实际上是很落后的。
（二）猜想思维方法
猜想是众多数学思维方法中的一种，具有数学思维的特性。而“所谓数学思维，就是以数学问题为载体，通过发现问题，解决问题的形式，达到对现实世界的空间形式和数量关系的本质的一般性的认识的思维过程”［2］。在这一定义中，非常强调数学问题的重要性。事实上，正是由于有了问题，于是才有了猜想的必要性。而又由于问题难以直接解决，于是猜想变成了解决问题的第一步。这既表现了数学思维的发展，又为后续的数学思维活动提供了动力和规划了方向。
但数学猜想并不是天马行空地乱猜，“数学猜想是依据某些数学知识和数学事实，对未知量及其关系作出的似真判断。”［3］在形成数学猜想的过程中，需要依据长期积累的数学知识和数学事实，在综合运用各种形象思维与逻辑思维方法的前提下形成，表现出深刻的想象力和洞察力。
猜想是直觉思维的结果。“直觉思维是指不受固定的逻辑规则束缚，直接领悟事物本质的一种思维方式。”［4］这种本质大体上包括数学中可能隐含的整体性、次序性、和谐性特征。直觉思维的一个主要特征是能够越过逻辑推理的束缚而直接作出某种预见和判断。在直觉思维中，人们以已有的知识为根据，以对某一问题的长期深入的思考为基础，凭直觉对研究的问题提出某种合理的猜测，往往表现为突然的认识与领悟。
（三）猜想思维方法的重要性
猜想思维方法是数学学科领域乃至自然科学领域一种重要的思维方法，可以说，没有猜想，就没有数学和自然科学的发展和突破。牛顿有一句名言：“没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现。”［5］当代著名数学家波利亚也非常重视猜想在数学发现过程中的作用。他指出：“要成为一个好的数学家，必须首先是一个好的猜想家。”［6］“数学的创造过程是与任何其他知识的创造过程一样的，在证明一个数学定理之前，你先得猜测这个定理的内容，在你完全作出详细证明之前，你先得猜测证明的思路，只要数学的学习过程能反映出数学的发明过程的话，那么就应当让猜测、合情推理占有适当的位置。”［7］因此，猜想在数学学习和研究过程中构成了逻辑分析的前提和基础，猜想为逻辑分析活动提供了动力并规划了方向，成为逻辑分析得以开展的基础。如此下去以实现猜想的证实与证伪。证实，则获得一个新的定理或理论；证伪，则激励进入一个新的假设环节。数学就是在这样一个不断的证实与证伪的过程中持续下去。
比如一元二次方程和三次四次方程都能用根式求解，于是人们猜想一般的n次方程都能用根式求解。然而这一猜想是不正确的，为了否定这一猜想，数学家伽罗左首创“群论”这一新的数学领域，阿贝尔则以此为基础证明了五次及五次以上的方程不能用根式求解。数学就是在这样猜想与证实或证伪的过程中不断开拓新的领域。而著名的哥德巴赫猜想则至今激励着无数的数学家和数学爱好者在数学的王国里艰难地遨游着。
由此看来，在数学的发展和研究领域中最重要的不是证明，而是猜想！如果没有猜想，何来证明？相对于证明而言，猜想永远具有优先性！能够提出一个具有深远影响力的猜想，无论真或者伪，都足以在数学界取得相当的地位。又有谁会怀疑哥德巴赫在数学界的地位呢？要有原创，首先必要有猜想。自古概莫能外！
“一个优秀的数学家会根据自己的数觉，运用科学方法，提出好的数学问题，设定数学猜想，以便深入地工作。问题选得好坏，猜想是否合适，是决定数学创造的关键，也是数学水平高低的分野。”［8］而一个在中小学阶段只知道做题的学生长大后是无法期望他具备这种问题意识和猜想意识的。因此，在中小学阶段，有意识地培养学生的猜想能力，培养学生以猜想和证明来解释数学问题的数学意识，目前，在我国显得尤为重要。具体而言，可以通过归纳和类比来形成猜想的意识和能力。
（一）归纳
1.完全归纳法
完全归纳适用于某一大类里面又分若干小类的情况，要立论某一大类具有某一性质，首先必须证明里面的若干小类都具有该性质。如立论“三角形的三条高相交于一点”，三角形是一大类，里面还分锐角三角形、直角三角形和钝角三角形三小类，要证明“三角形的三条高相交于一点”首先必须分别证明锐角三角形、直角三角形和钝角三角形的三条高都相交于一点。这种归纳法就是完全归纳的思路。
2.不完全归纳法
相比较而言，不完全归纳法更具有猜想―证明的思维特色。它主要是从少数个别事实中看到某些规律现象，从而受到启发，提出假设和猜想。著名的哥德巴赫猜想就是这样提出来的。
1742年，德国数学家哥德巴赫根据奇数77=53+17+7，461=449+7+5=257+199+5等个别例子看出，每次相加的三个数都是素数，于是他猜想，所有大于5的奇数都可以分解为三个素数之和。他将此猜想告诉欧拉，欧拉肯定了他的想法，并补充提出：4以后的每个偶数也都可以分解为两个素数之和。“哥德巴赫猜想”就这样诞生了。此猜想一出，即激励了数学界众多人士进行证明，成为数学史上一个璀璨的明珠，至今无人摘得。
在我国数学教学中，归纳法的教学只在高中数列这一部分内容中进行渗透，主要是以猜想―证明的方式来求一个数列的通项公式或者求和公式，而其他内容处则很少涉及。
但实际上，在小学和中学的很多类型的知识中，都可以用到猜想―证明方法。比如小学阶段的问题：“在周长一定的长方形中，哪一个的面积最大？”就这一问题，学生只要列出三组数据，分别是两个长方形和一个正方形，通过验证和计算，就可以得出，是正方形的面积最大。如果是在小学阶段，猜想证明的要求可以到此为止。而到了初中和高中学了二次函数以后，就可以要求学生证明这个命题，于是就又涉及通过建构数学方程来解决实际问题的思维方法。可以设定x和y为长方形的两边之长，周长为2a，则x+y=a时，xy=x(a－x)=ax－x2，于是问题就转化为求ax－x2这样一个二次函数的最大值。
在实际教学中，教师应该尽可能给学生提供更多的猜想机会，即使是书本上已有的知识，也可以让学生自己去猜想，自己去求证，比如一些公式的推导与证明。当他们真正掌握了数学里的思维方法的时候，就完全可以自学而不再依靠教师的讲授。只是在小学和中学阶段，这种猜想和证明的要求不一样，小学阶段对一个命题有实例证明就行，而中学阶段可以要求应用数学方程、函数等进行学理上的证明。即使暂时不能从学理上证明，那也没关系。正如韦依说过的关于欧拉的一段评价：“当欧拉猜想到一个一般定理时，他会很高兴，试图去证明它。但是，如果找不到证明，而只有一些令人信服的实验证据，他几乎也会感到同样的欣慰。”［9］说不定这个问题将成为影响学生终身的兴趣和发展的问题，比起那些让学生为了拿高分而绞尽脑汁的痛苦问题来说，这样的问题的价值实在百倍于之。
（二）类比
类比也是猜想的一种重要方法。著名数学家波利亚在《怎样解题》中指出“类比是一个伟大的引路人”，［10］哲学家康德也同样认为，在提出猜想的过程中，“每当理智缺乏可靠论证的思路时，类比这个方法往往能指引我们前进。”［11］而“所谓类比，就是根据两个（或两类）对象之间某些方面的相似或相同，而指出他们在其他方面也可能相似或相同的一种逻辑推理”［12］。著名数学家欧拉就是将代数方程的某些特性类比到非代数方程中去，将有限类比到无限中去，从而巧妙地解决了所有自然数平方的倒数和这一难题的。
在中小学阶段，类比的情况还是很多的。比如分配律a（b+c）=ab+ac，对数的和式运算都成立，也适用于极限运算：
limnAn(Bn+Cn)=limnAnBn+limnAnCn
但是类比有时候也不成立，比如分数的加法，同分母相加的运算规则却不能类比推理到异分母的加法运算规则；分配律也不能类比推理到对数的计算中：
loga（A+B）≠loga A+loga B
虽然类比推理有时候正确有时候错误，但在课堂上，并不影响这种思维方式的演绎，不管这些类比推理是成立还是不成立，都可以使用，因为之后总会要有一个证明的过程。就比如异分母分数的相加法则，教师上课时根据同分母相加法则进行类比推理写出计算法则如下：
a/b+c/d=a+c/b+d
反应快的学生马上就会意识到，其实1/2+1/3≠2/5，于是顺理成章地引出，那异分母分数相加的法则又是什么呢？这样对激活学生思维，比单纯地告诉学生计算法则要好得多。而且学生从这样一个过程中，也领会到了，有些类比推理是成立的，而有些类比推理是不成立，都需要经过证明才能有效。无形之中，这种类比推理猜想的思维方法就被学生所内化和掌握。
其实，中小学阶段，这种类比还很多，如数的运算与式的运算、图形的全等与图形的相似、整数指数的幂函数与分数指数的幂函数、平面几何与立体几何等当中的很多问题都可以进行类比，通过这样的类比，既可以帮助学生找到知识之间的联系与区别，建立起完备的知识结构，又可以培养这样一种思维方法，比单纯的知识学习与计算技能的掌握具有更潜在的发展价值。
教师在教学过程中除了有意识地多提供类似题目，培养猜想意识之外，还需要保护好学生的问题意识和所谓的“异想天开”，学生可能会根据自己的直觉对某些问题做出自己的猜想和推理，这个时候教师一方面要保护，另一方面，可以引导学生通过实验和数理的方式来证明自己的猜想。
［参考文献］
［1］［8］［9］［10］［11］张奠宙，过伯祥.数学方法论稿［M］.上海：上海教育出版社，1996.
［2］［4］［7］［12］张乃达.数学思维教育学［M］.南京：江苏教育出版社，1990.
［3］李玉琪.数学教育概论［M］.北京：中国科学技术出版社，1994.
［5］［6］李玉琪.数学教育概论［M］.北京：中国科学技术出版社，1994.
Conjecture and its Cultivation in the Teaching of Mathematics
SHENG Zhi-rong
(Mathematics Department, Education College, Quzhou University, Quzhou, 324000, Zhejiang, China)
Abstract:Conjecture is an important way of thinking in mathematics as well as in the field of natural science. Conjecture has a priority with regards to proof. The cultivation of innovation spirit in elementary school and high school students, and the formation of our original scientific research, require the cultivation of their conjecture awareness and conjecture ability. Mathematics, as the mother of natural science, has an immeasurable value and obligatory responsibility in this respect. Therefore, in order to cultivate students′ awareness and ability of conjecture, induction and analogy, the two major methods of conjecture must be applied to the teaching of mathematics.
Keywords: conjecture; the teaching of mathematics; cultivation