复合跳跃过程下的最优投资组合

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作者简介：万树平，江西财经大学信息管理学院博士，研究方向：控制论在金融系统中的应用。

摘要：考虑了由1个无风险债券、1个风险证券股票组成的金融市场，股票价格遵循复合跳跃过程，建立了以最大化财富为目标的投资组合模型。给出了最优策略满足的必要条件，得到简化模型的解析解，并给出了仿真结果。

关键词：最优；投资组合；几何布朗运动；复合跳跃过程

中田分类号：F830．593　文献标识码：A　文章编号：1008-2972(2006)03-0018-03

一、引言

近年来数理金融领域中，大多数的研究都集中在市场分析、风险对冲和投资组合管理等问题上。分析和研究股票的绩效，最重要的是建立刻画股票价格运动的数学模型。传统上，股票的价格变化经常被认为是遵循几何布朗运动模型，基于几何布朗运动模型的研究广泛地出现在投资组合管理的文献中。

然而，当市场外部有不可预测的某种信息(如政策性因素和突发事件)到达时，便会对股票价格产生冲击，这时股票的价格会出现不连续的跳跃。这些信息作用的时刻和等待发生的时刻是随机的，因此可以引入一维Poisson过程来描述。文[1]研究了当市场由跳跃―扩散过程或levy过程驱动时的最优投资组合。文[2]提出了一种带跳跃的Black-Scholes模型，即股票价格遵循复合跳跃过程，研究了在风险下的最优投资组合问题。

本文考虑如下的金融市场：证券市场由2项资产组成，其中一项无风险债券，一项风险资产股票。股票不分红，无交易成本。股票价格遵循复合跳跃过程，投资者以最大化投资的财富为目标。

本文首先建立了最优投资组合模型，其次，给出了最优策略满足的必要条件，虽后得到简化模型的解析解，并给出了仿真结果。

二、最优投资组合模型

债券价格遵循如下的方程：

跳跃得很频繁，投资者肯定会卖出股票，而持有无风险资产。

从图2和表2可以看出，最优投资组合比例随跳跃高度e的增大而减少，即投资者持有风险资产股票的比例减少，并且随着Poisson强度L的增大而减少。例如当h=0．3，p=O．1时，ir'=0．4666，而e：0．3时，投资者持有股票的比例π[*]=0．309l＜0．4666。当λ=0．5，β=O．1时，π[*]=0．4466＜0．4666，即Poisson强度从0．3增加到O．5时，投资者持有股票的比例从0．4666下降到0．4466。

五＼结论

本文引入复合跳跃过程来刻画股票价格的运动，研究了投资组合问题，得到了最优投资组合比例满足的必要条件，同时获得了简化模型最优投资组合比例的解析解和仿真结果。得到如下结论：

1．最优投资组合比例仍是固定比例，Merton Line也仍是一条直线。

2．最优投资组合比例(即投资者持有风险资产股票的比例)随Poisson强度的增大而减少，且当股票价格向上跳跃时投资者持有风险资产股票的比例比向下跳跃时的大。

3．最优投资组合比例随跳跃高度的增大而减少。

当然本文对所述模型还没有成功地给出满意的经济解释，当引入交易成本和税收时，结果又将如何?这些课题都是非常有前景的，有待于进一步的研究。

参考文献：

[1]Yan，J．A．Q．ZHANG，S．G．Growth optimal Portfolio in a marketdriven by a jump-diffusion-like Process ir a levy process，Annal．Econo and Finance 2000,1：101-116

[2]Suaane Enter and Glaudia Klpperlberg, Ralf KornOptima Rortfolios with hounded capital al risk，mathematical Finance，2004,11(4)：365-384．

[3]Ross,S Stochastic Processes New York：John Wiley & Sons 1996．

[4]Merton．R．Optimal Consumption and Rortfolio Rules in aContinous-Time Model．J．Econ．Theory，1971，3：373-413．

[5]Tomasz R．Bieleckii,Stanley R．P.Pliska,Michael Sherris Risksensitive asset allocation，Journal of Economic Dynamics& Control2000,24：1145-1177．

责任编校：凡夫