一道高三调研题的寻根及探究
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1. 问题
如图,已知椭圆C的方程为x24+y2=1,A,B是四条直线x=±2，y=±1所围成的矩形的两个顶点.
（1） 设P是椭圆C上任意一点,若OP=mOA+nOB,求证:动点Q（m，n）在定圆上运动,并求出定圆的方程;
（2） 若M,N是椭圆上两个动点,且直线OM,ON的斜率之积等于直线OA,OB的斜率之积,试探求OMN的面积是否为定值,并说明理由.
解： （1） 易求A（2，1）,B（-2，1）.
设P（x0，y0）,则x204+y20=1.由OP=mOA+nOB,得x0=2(m-n)
y0=m+n,
所以4（m-n）24+(m+n)2=1,即m2+n2=12.
故点Q(m，n)在定圆x2+y2=12上.
（2） 设M（x1，y1），N（x2，y2）,则y1y2x1x2=-14.
平方得x21x22=16y21y22=（4-x21）（4-x22）,即x21+x22=4.
因为直线MN的方程为,（x2-x1）y-(y2-y1)x+x1y2-x2y1=0
所以O到直线MN的距离为
d=|x1y2-x2y1|(x2-x1)2+(y2-y1)2,
所以OMN的面积
S=12MN・d=12|x1y2-x2y1|=
12x21y22+x22y21-2x1x2y1y2=
12x211-x224+x221-x214+12x21x22=
12x21+x22=1.
故OMN的面积为定值1.
2. 寻根
2011山东高考理科22题：已知动直线l与椭圆C:x23+y22=1交于P（x1，y1）、Q（x2，y2）两不同点，且OPQ的面积SOPQ=62,其中O为坐标原点.
（Ⅰ） 证明：x21+x22和y21+y22均为定值;
（Ⅱ） 设线段PQ的中点为M，求|OM|・|PQ|的最大值；
（Ⅲ） 椭圆C上是否存在点D,E,G，使得SOPQ=SODG=SOEG=62？若存在，判断DEG的形状；若不存在，请说明理由.
2011江苏南通高三第三次调研卷18题：
在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率为22，其焦点在圆x2+y2=1上．
(1) 求椭圆的方程；
(2) 设A，B，M是椭圆上的三点(异于椭圆顶点)，且存在锐角θ，使OM=cosθOA+sinθOB．
() 求证：直线OA与OB的斜率之积为定值；
() 求OA2+OB2．
3. 探究
探究1：如图,已知椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）A,B是四条直线x=±a，y=±b所围成的矩形的两个顶点.
（1） 设P是椭圆C上任意一点,若OP=mOA+nOB,求证:动点Q（m，n）在定圆上运动,并求出定圆的方程;
（2） 若M（x1，y1）、N（x2，y2）是椭圆上两个动点,且直线OM,ON的斜率之积等于直线OA,OB的斜率之积,
() 求证：x21+x22和y21+y22均为定值，并求出定值.
() 试探求OMN的面积是否为定值,并说明理由.
解： （1） 易求A（a，b）,B（-a，b）.
设P（x0，y0）,则x20a2+y20b2=1.由OP=mOA+nOB,得m-n=x0a
m+n=y0b，所以(m-n)2+(m+n)2=1,即m2+n2=12.
故点Q（m，n）在定圆x2+y2=12上.
（2） 由题意知y1y2x1x2=-b2a2.两边化简得平方得x21・x22=a4y21y22b4=（a2-x21）（a2-x22）,
即x21+x22=a2，同理可求y21+y22=b2.
因为直线MN的方程为(x2-x1)y-(y2-y1)x+x1y2-x2y1=0,
所以O到直线MN的距离为
d=|x1y2-x2y1|（x2-x1）2+(y2-y1)2,
所以OMN的面积
S=12MN・d=12|x1y2-x2y1|=
12x21y22+x22y21-2x1x2y1y2=
12x211-x22a2・b2+x221-x21a2・b2+2b2x21x22a2=
12b2（x21+x22）=12a2b2=12ab
故OMN的面积为定值12ab.
探究3：已知抛物线方程为y2=2px（p＞0），若M，N是,抛物线上两个动点,且直线OM，ON（与坐标轴不重合）的斜率之积等于-1，)试探求OMN的面积的最小值.
解：设直线OM的直线方程为y=kx，则直线ON的方程为y=-1kx，联立方程y=kx
y2=2px，得xM=2pk2，同理可求xN=2pk2，所以OMN的面积S=12（1+k2）2k2・|xM・xN|=2p2（1+k2）2k2=2p2k2+1k2+2≥4p2
（当且仅当k2=1时取等号），即直线MN垂直x轴时，OMN的面积有最小值为4p