揭示知识的数学本质 推进高效课堂的有效生成

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中图分类号：G623.56 文献标志码：B 文章编号：1673-4289（2013）10-0037-03

一、课例展示

（一）创设情境，生成问题

学生通过教师提供的学案，阅读并解决问题：

从前有一个卖马的人，标价3 000元。有个买主嫌贵，卖主对他说：“如果你能改买马蹄子上的钉子，我就把马送给你。”买主便问怎么个卖法，卖主讲，4只马蹄子上共有24个钉子。第1个钉子卖1分钱，第2个卖2分钱，第3个卖4分钱，依此类推，即后一个钉子是前一个钉子价钱的两倍。买主听后心动了，认为买24个钉子花不了几个钱，他真的花不了几个钱吗？（注：故事改编自一意大利数学手稿（约1535年）中的一道问题。）

教师：你能帮买主出出主意吗？

学生：可以。需要比较两种方法下，哪种方法用的钱少。关键要求出1+2+22+…+223=？

教师追问：这个问题的本质是什么？

学生：求等比数列2的前24项和。

？摇教师：很好，同学们通过独立思考后对这样一个实际问题的解决已经有了较为清晰的认识。大家已完成了将这个实际问题转化成为一个数学问题，现在要解决这个数学问题的关键就是求这个具体的等比数列的前24项的和，大家能利用已有的知识和方法解决吗？

？摇学生：用计算器把每一项算出来再相加……

学生：那么大，好难算哦！如果再多些项呢，更算不出来，这个方法不可行。

学生：等差数列求和都有公式，等比数列有没有求和公式呢？如果有，可以直接带公式计算……

大家七嘴八舌地讨论开了，最后达成一致认识：需要求和公式以解决繁杂的运算问题。这时，教师便顺势引出了本堂课的课题：等比数列的前n项和。并抛出了探究的核心问题：探究首项为a，公比为q的等比数列a的前n项和公式S。

（二）自主合作，解决问题

引导学生回忆等差数列前n项和公式的推导方法——倒序相加。倒序相加目的是构造一个关于S的方程，将数列的求和问题转化成了一个解关于未知数S的方程问题。当然最终未知数S的解要化简，就需要在构造方程的过程中将方程中“省略号部分”去掉，化繁为简，消元、消项。基于以上认识，请同学们类比推导等比数列前n项和公式。

学生先自主探究10分钟，再小组交流、讨论5分钟，最后教师选择解决方式有代表性的小组，让选到的小组每组派一名代表将本组的探究过程借助于实物投影在全班展示，同时辅助以语言说明。

学生一：根据等比数列的定义，可以得到项满足，要构造关于S的方程就需要构造，初中讲过的比例的性质就可以做到这一点，所以我们小组就按照这个方法推导，具体如下：

学生三：因为希望消去“省略号”部分，所以构造另一个式子也拥有足够多的相同项即：，然后两个式子相减，将相同的部分抵消，从而得到：

当q≠1时当q=1时，教师：谢谢三位同学，三位同学从完全不同的角度给我们展示了公式的推导过程。无论是哪种方法，都是基于等比数列的定义，构造关于S的方程。而对于表达式中“省略号”部分的消去，有采用整体取代的，即有采用构造相同项前后抵消的。接下来我们大家一起，将这三种方法依据其中最关键的化简环节对其进行命名。

学生：比例性质法、迭代法、错项相消法……

学生对此很有兴趣，你一言我一语，气氛很是活跃。在这时，突然有位同学将话锋一转说道：老师，我认为既然是消去省略号的部分，构造关于S的方程，那么方法二与方法三还有其他的化简方式。

这时，全班同学都被这位同学的话吸引住了，大家都想看这位同学葫芦里卖的什么药。

“对于方法二迭代的过程中还可以多保留几项，比如

学生：嗯，有道理，精彩……

同学们不时的为这位同学的发言发出阵阵赞叹，赞叹声中已经说明这些方法的实质大家已经掌握，蕴含在不同方法背后的数学思想已经有所体会，现在还需要的仅仅是高屋建瓴地引导大家将丰富这个缄默知识。这个问题教师并不急于解决，而将大家的目光引向推导的细微处。

教师：通过以上三组同学的展示，我们得到了两个不同的结论，其中第三组同学的结论中，S的表达式与q的取值相关，而前两组同学却没有分类，究竟哪个结论正确呢？

学生：肯定要分类，因为将系数化为“1”的时候，左右两边同时除以1-q，只有当1-q≠0时才有意义，当1-q=0时，数列就是常数列，S=na。

教师：回答的很好，同学们在化简过程中必须考虑各种方法下是否等价变形，当结论随着参数的取值而发生变化时，大家一定要分类讨论，注意思维的严谨性。不知道同学们有没有注意到在1-q≠0时，得到了两个S的表达式，即S=和S=，是不是有不同方法下推导出不同结论呢？

学生：两个公式是一样的，可以借助于a=aq进行互化。

得到了一般性的结论之后，马上用结论解决实际问题。这种过程符合一般情况下我们发现一个知识的全过程，即在实际生活中发现问题——抽象成数学模型探究解决模型问题——反思整个过程、形成知识与方法——用实际问题检验模型。

S=1+2+2+…+2=2-1=2-1=（64）-1=4096-1=16 777 216-1=16 777 215分=167 772.15元≈16.7万元

结论：应采用3 000元买马更划算。

（三）师生合力，归纳提升

教师引导学生，反思整个探究过程，总结知识并挖掘其中蕴含的数学思想与方法。

（注意用好板书，从过程中去发现、去挖掘）

1.？摇数学知识方面

等比数列a的前n项和公式S=na（q=1）=（q≠1）

2.？摇数学思想方法

方程思想、模型化思想

（四）应用反馈，理解升华

1.应用（课堂完成）

例（1）求等比数列1，-2，4，-8，…的第三项到第八项的和。

（2）求S=a+a+a+…+a（a≠0）。

通过训练，让学生初步掌握公式并能应用公式解题。并通过对公式的应用，进一步归纳公式中涉及的五个量，“知三求二”。

小结：S、a、q、a、n“知三求二”。

即求和公式中有5个量，知任意3个通过解方程（组）都可以求另外2个的方程。

2.反馈（课后完成）

（1）P习题2.5 1、4

（2）在我国古代，成书于公元4世纪左右的《孙子算经》卷下有一名题：“今有出门望见九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各几何。

（3）探究：S=1·2+2·2+3·2+…+20·2的值。

二、课例评析

（一）在课堂教学培养学生的探究能力

本课例以故事引入，兴趣盎然。以意大利数学手稿中的名题为问题的出发点，创设悬念。由学生提出问题并指明需要解决的核心问题，让他们遭遇了实际困难。以意大利名题作为本堂课的引入来创设问题情境，反映了数学的历史，展示了数学的应用，有效地激发了学生的学习兴趣，增强了学生的应用意识，扩展了学生的视野。后续课堂内容的展开，均立足于这道命题的解决过程。整堂课的设计，让学生感受作为一个小小数学家，在面临一个实际问题时，如何数学地提出问题、解决问题并将得到的结论用于解决其他类似的问题。

教师运用心理学家马斯洛（美国）的“成长动机说”，通过提示，引导学生回忆，把火热的思维过程展现在课堂上。经过问题表征的提取，相关学习经验的回顾，激发学生“自我实现创造”的动力。再将买马的特例推广到一般情况。让他们自己去体验探索的艰辛和体会成功的愉悦。这种处理真正将学生置于教育教学的主体地位，充分发挥每个学生的创新精神和创造潜能。

多法求和，开拓思维。探索化简求和的各种方法与思路用于解决其他问题，尝试探索，不可或缺。教师不是急急忙忙地抛出“错项相消法”，而是从学生的认知规律出发，让学生自己探索这一具体问题的解决方法。由“加”到“减”，辩证转换。由于考虑到教学探究与科学发现探究有本质的区别，前者受限于课时、学生的认知基础等等。因此，为了使探究不流于形式，在学生自主探究之前，先搭建了一个脚手架。结合等比数列的特点，与学生一起，引入“错项相消法”导出一般等比数列前n项和的公式。

问题的探究过程经历了学生自主探索与合作交流，有效的发挥了学生学习的主动性，使学习过程成为教师指导下的“再创造”过程，对培养学生的创新意识有着积极的作用。同时，整个过程一改过去教学中过分强调让学生记住一个形式化的结论，让学生经历了结论逐步的形成过程，更注重对知识本质的认识。“零”中探宝，喜得真经。进一步分析数列求和的本质在于化简，拓展到范围更广的一类数列的求和。

这节课中学生从多个层面去思考，通过观察、分析、归纳、猜想，用多种方法去解决问题，展现了他们的能力。这对于学生来说就是一种个体创新，是学生的真实成长。在该案例设计中，教师一直以一个学生的合作者的姿态出现，采用局部启发法，从三方面对学生提供了支持：（1）提取问题表征（2）回顾启发（3）计划与实施。符合问题解决教学模式。揭示知识的数学本质推进高效课堂的有效生成。在这一堂数学课中，教师所做的一切主要是设计、组织、实施，真正进入角色的是学生。数学思想作为对数学理论和内容的本质认识，是数学的灵魂和精髓。高中数学课标提出：“要理解基本的数学概念、数学结论的本质，了解概念、结论等产生的背景，体会其中蕴含的数学思想和方法”。本节课力图引导学生在推导等比数列的前n项和公式的过程中，体验知识背后所蕴含的数学思想，进一步加深对等比数列的前n项和的本质认识。

（二）在课堂上养成学生应用数学的意识

？摇新的课程标准已对学生数学应用意识作了清楚的刻画，学生的应用意识主要体现在以下2个方面。（1）面对实际问题，能主动尝试着从数学的角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略。（2）认识到现实生活中蕴涵着大量的数学信息，数学在现实世界中有着广泛的应用。但目前数学教育中存在着一个较大的问题即学生应用能力、应用意识的培养与课堂教学的脱钩。如何不出校门培养学生的应用意识？一个有效的手段即是教师创设一个有利于学生学习活动的问题情境，让“学校数学”与“日常数学”走向融合，使学生不出校门而在问题解决中学习数学知识，逐渐树立起“学数学即是做数学”的观念。而在此过程中一个重要的思想即是模型的思想，或更为具体地说也就是数学建模。

（作者单位：武侯区教育科学发展研究院，成都 610061；四川大学附属中学，成都 610061）