解析几何与函数知识的融合

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函数在解析几何中的应用多年来一直是高考命题的热点，通常以最值和相关量的取值范围问题为主要题型，如面积、弦长的最值问题，面积比、弦长比的取值范围问题等在近几年的高考试题中频频亮相.

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解决这类问题的基本方法是构造目标函数，但在此之前，必须先确定某个量（参数）作为函数的自变量，并求其范围. 函数的自变量可以在设点的坐标、直线的方程过程中获得，通常将点的坐标（横或纵）、直线的斜率或截距等确定为函数的自变量.

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■ 如图1，已知椭圆C：■+y2=1.

（1）点A，B是椭圆C上的两点，且AB=■，求AOB面积的最大值；

（2）点A，B是椭圆C上的两点，且AB=L，求当AOB的面积取到上述最大值时弦长L的取值范围.

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图1

破解思路 圆锥曲线中，求三角形面积的通法是：先用弦长公式求三角形的底边长AB，然后用点到直线的距离公式求得顶点到底边上的高d，代入S=■AB・d，构造面积函数.

经典答案 （1）先考虑直线AB斜率不存在的情况. 设AB的方程为x=x0，A（x0，y0），则AB=2y■=■，即y■=■. 又■+y■■=1，所以SAOB=■x02y■=y■■=■.

当AB与x轴不垂直时，设其方程为y=kx+m，代入椭圆方程并消去y得（1+3k2）x2+6kmx+3m2-3=0. 由弦长公式得AB=■・■=■. 即m=■.

又原点到直线AB的距离d=■，故SAOB=■・■・■=■■. 令t=1+k2≥1，所以SAOB=■■=■■. 易知■∈（0，1]，所以此时SAOB≤■（当t=2时取到等号）. 又■

（2）由题得SAOB=■・L・■=■ ①，又由（1）可知L=AB=■■②. 将②代入①得■=1，令p=1+3k2，则由上式得m2=■，代入②即可得L=■=■・■. 易知p∈[1，+∞），且L是关于p的减函数，所以L∈（■，■].

■ 如图2，已知椭圆C1：■+■=1，抛物线C2：y2=4x，过椭圆C1右顶点的直线l交抛物线C2于A，B两点，射线OA，OB分别交椭圆于D，E两点，点O为原点.

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图2

（1）求证：点O在以DE为直径的圆的内部；

（2）记ODE，OAB的面积分别为S1，S2，问是否存在直线l，使S2=3S1，若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由.

破解思路 （1）欲证点O在以DE为直径的圆的内部，只要证明∠DOE为钝角，即证■・■

（2）将■表示成目标函数，求其值域，若值域范围内有3，则直线l存在，否则便不存在.

经典答案 （1）设l：x=my+2（m∈R），设点A，B，D，E的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），D（x3，y3），E（x4，y4），联立直线l与抛物线C2的方程并消去x得y2-4my-8=0. 由判别式Δ=16m2+32>0对任意m∈R恒成立，故y■+y■=4m，y■y■=-8. 所以■・■=x1x2+y■y■=■・■+y1y2=■+y■y■=-4

（2）设∠AOB=∠DOE=α，则■=■=■. 设直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，由弦长公式可得OA=■y■，OD=■y■，OB=■・y■，OE=■y■，所以■=■，即■■=■ ①.

又由O，D，A三点共线得■=■，且x1=■，x■■=41-■，所以y■■=■，同理y■■=■，代入①得■■=■，再由韦达定理代入并整理得■■=■≥■，即■≥■>3，所以不存在直线l使S2=3S1.

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如图3，若已知椭圆C过定点M-1，■，两个焦点分别为F1（-1，0），F2（1，0），过点M作倾斜角互补的两条直线MA，MB分别交椭圆于A，B.

（1）求证：直线AB的斜率为定值.

（2）求MAB的面积S的最大值.

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图3