从基础走向纵深的等比数列

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等比数列是高考的热点内容，高考既考查等比数列的基础概念、基本性质和基本运算，也考查等比数列与其他知识的综合问题. 本文谈谈等比数列的考题导向，以帮助同学们掌握好相关知识.

一、 基本概念题，体会简约精神

考题类型1： 等比数列的通项公式问题

例1 已知数列{an}是等比数列，且a4+a7=9，a5+a8=18，an=64，求项数n.

分析 本题考查的是等比数列的定义及通项公式的应用. 等比数列的通项公式为an=a1qn-1，确定al及q后，又写出an关于n的表达式，再由an=64可求得n.

解 因为a4+a7=a1q3（1+q3）=9，a5+a8=a1q4（1+q3）=18，

所以q=2，a1=，则an=×2n-1=2n-4.

又因为an=64，所以2n-4=64，则2n-4=26，得到n-4=6，即n=10.

点评 灵活应用等比数列的相关知识是解决本题的关键，因此同学们要熟练掌握好等比数列的通项公式及等比数列的特点.

考题类型2：等比数列中项的应用

例2 已知等比数列{an}中，a1+a2=30，a3+a4=120，求a5+a6的值.

分析 本题考查的是等比中项的应用，先将三个和变成等比数列，再由中项公式求解.

解 因为{an}是等比数列，且a1+a2=30，q2（a1+a2）=120，设q4（a1+a2）=x，

则1202=30x，则x=480，

所以a5+a6=480.

点评 对于等比数列来说，若取a1+a2为一个整体，a3+a4依次类推，则整体仍然成等比数列，当然取三项为一个整体同样也成立.

考题类型3： 等比数列典型性质的应用

例3 （2012年新课标卷）已知{an}为等比数列，a4+a7=2，a5a6=-8，则a1+a10=（ ）

A. 7 B. 5 C. -5 D. -7

分析 本题可利用性质m+n=p+q，则aman=apaq来进行解决.

解 因为a4+a7=2，a5a6=a4a7=-8，所以a4=4，a7=-2或a4=-2，a7=4.

若a4=4，a7=-2，则a1=-8，a10=1，所以a1+a10=-7；

若a4=-2，a7=4，则a10=-8，a1=1，所以a1+a10=-7.

故选D.

点评 本题考查等比数列的性质及通项公式的应用，巧用等比数列的性质可简化解题过程.

二、 综合性问题，从简约走向深刻

考题类型1： 等比数列的存在性问题

例4 能否构成一个等比数列{an}，使其同时满足下列三个条件：（1）a1+a6=11；（2）a3a4=；（3）至少存在一个自然数m，使am-1，a2m，am+1+■，这三个数依次成等差数列？若能，请构造出这个数列；若不能，请说明理由.

分析 本题考查等差、等比数列的综合应用.

解 假设能构造出这个等比数列{an}.

因为ala6=a3a4=，且a1+a6=11，则可以得到a1=，a6=或a6=，a1=.

于是可以求得数列的通项公式为an=×2n-1或an=×（）n-1.

对于an=×（）n-1=×2n-1，若存在满足题设要求的m，

则2×（×2m-1）2=××2m-2+×2m+，

所以2m=8，则m=3.

对于an=×（）n-1=×26-n，若存在满足题设要求的m，

则4×（26-m）2-11×26-m-8=0，由Δ=112+16×8=249不是完全平方数可知，m不存在.

综上所述，能构造出这样的数列：an=×2n-1.

点评 有关数列的综合性问题，难度比较大，这就需要充分理解概念并灵活应用相关公式.

考题类型2：等比数列与函数、不等式的结合应用

例5 已知a、b、n∈N*，{an}是首项为a，公差为b的等差数列；{bn}是首项为b，公比为a的等比数列，且满足a1

分析 利用等差数列与等比数列的通项公式将已知的不等式关系化为首项与公差或公比的不等式，然后根据条件“a、b、n∈N*”进行分析求解.

解 因为an=a+（n-1）b，bn=b・an-1，

又由已知可得a

所以由a+b1+.

又0

又b>1+，而>1，则b≥3.

再由ab

a

故2≤a

点评 本题需要用到等差数列和等比数列的定义并结合不等式才能解决，要注意解题技巧.

因此，我们要深刻理解等比数列的概念、通项公式及相关性质，解决等比数列的相关问题才能得心应手.